Conceptos Fundamentales de Cálculo: Continuidad, Derivadas y Sucesiones

¿Qué es la continuidad de funciones?

Se refiere a cuando los valores de una función no presentan saltos, el límite coincide con el valor de la función y es posible dibujarla sin huecos y sin levantar el lápiz del papel.

¿Qué es la continuidad uniforme?

Es cuando puedes controlar cuánto cambia la función con una sola regla, independientemente de la posición en la que estés; es decir, la misma cercanía funciona para todo el dominio.

¿Qué es la derivada de una función?

Refleja el cambio del valor de una función en relación con un cambio en su variable independiente.

¿Qué es el límite de una sucesión?

Es el valor al que se aproximan los términos de la sucesión a medida que el número de términos n tiende a infinito.

¿Cuándo es convergente y divergente?

• Convergente: Si una sucesión se aproxima a un valor fijo.
• Divergente: Si no se aproxima a ningún valor específico.

¿Cuáles son las 4 características del límite de sucesión?

• Convergencia
• Divergencia
• Límite finito
• Límite infinito

¿Qué interpreta la tasa de cambio instantánea de la función?

Se interpreta como la derivada en un punto específico, la cual mide la pendiente de la tangente a la curva de la función en dicho punto.

¿Qué es el diferencial?

Es un cambio infinitesimal en la variable independiente, denotado como dx, representado en un pequeño incremento en f(x).

¿Cuál es la relación entre derivada y diferencial?

La derivada es la tasa de cambio instantánea de una función, mientras que la diferencial es el cambio real en la función ante un cambio infinitesimal de la variable.

Aplicaciones de la derivada

Aplicaciones teóricas

• Estudio de funciones
• Optimización
• Series de Taylor
• Ecuaciones diferenciales
• Geometría y física matemática

Aplicaciones prácticas

• Física
• Economía
• Ingeniería
• Medicina y biología
• Inteligencia artificial
• Química
• Arquitectura
• Ecología

Reglas del cálculo en una derivada

• Regla de la constante
• Regla de la potencia
• Regla de la suma y resta
• Constante por función
• Regla del producto
• Regla del cociente
• Regla de la cadena