Conceptos Fundamentales de Funciones Matemáticas: Dominio, Imagen y Propiedades

Definición de Función

Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se las llama x e y. La variable x es la variable independiente, mientras que la variable y es la variable dependiente. La función, que se suele denotar por y = f(x), asocia cada valor de x a un único valor de y: x → y = f(x).

Conceptos Básicos

• Dominio: Se llama dominio de una función f(x) al conjunto de los valores de x para los cuales existe la función.
• Imagen: Im(f) es el conjunto de valores que toma la función. Es decir, el conjunto de valores de y para los cuales hay un x tal que f(x) = y.

Formas de representar las funciones

• Mediante su expresión gráfica.
• Mediante un enunciado.
• Mediante una tabla de valores.
• Mediante su expresión analítica o fórmula.

Tipos de Dominios

• Denominadores: Los valores que hacen cero un denominador no están en el dominio de definición. Por ejemplo, para f(x) = 1 / (x + 3), el dominio es el conjunto de todos los números reales salvo x = -3. Es decir, (-∞, -3) ∪ (-3, +∞).
• Raíces cuadradas: No están en el dominio de la función los valores que hacen que la expresión bajo la raíz sea negativa. Por ejemplo, en f(x) = √x - 2, los valores x < 2 no están en el dominio de definición. Por tanto, Dom(f) = [2, +∞).
• Polinomios: En funciones como x² + 3x - 2, el dominio abarca todos los números reales.

Propiedades de las Funciones

Continuidad

Una función continua no presenta discontinuidades de ningún tipo. Una función es continua en un intervalo (a, b) si no presenta discontinuidad sobre él.

Crecimiento y Decrecimiento

• Función creciente: Si x₁ < x₂, entonces f(x₁) < f(x₂).
• Función decreciente: Si x₁ < x₂, entonces f(x₁) > f(x₂).

Máximos y Mínimos

Una función tiene un máximo relativo en un punto cuando en él la función toma un valor mayor que en los puntos próximos. En tal caso, la función es creciente hasta el máximo y decreciente a partir de él. Análogamente, si f tiene un mínimo relativo en un punto, es decreciente antes del punto y creciente después de él.

Tendencia y Periodicidad

• Tendencia: Hay funciones en las que, aunque solo conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir cómo se comportarán lejos del intervalo en el que han sido estudiadas, porque tienen ramas con una tendencia muy clara.
• Periodicidad: Una función periódica es aquella cuyo comportamiento se repite cada vez que la variable independiente recorre un cierto intervalo. La longitud de ese intervalo se llama período.