Conceptos Fundamentales de Funciones Matemáticas y sus Representaciones

Definición de Función

Una función es una correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del conjunto inicial le corresponde un único valor del conjunto final.

• Los elementos del conjunto inicial forman la variable independiente, que se suele representar con x.
• Los elementos del conjunto final forman la variable dependiente o imagen, que se representa con la y.

Intervalos en la Recta Real

Un intervalo es un segmento de la recta real que contiene todos los números comprendidos entre dos números llamados extremos (a y b).

• Intervalos cerrados: Comprenden todos los números entre a y b, con a y b incluidos.
• Intervalo abierto: Comprende todos los números entre a y b, sin estar incluidos ni a ni b.
• Intervalos semiabiertos y semicerrados: Todos los números entre a y b, estando b incluido o estando a incluido.

Propiedades de las Funciones

• Dominio de una función: Son los valores que puede tomar la variable independiente (x).
• Recorrido: Es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente (y).
• Gráfica de una función: Es la representación en los ejes de coordenadas de los puntos (x, y).
• Máximo: Una función tiene un máximo en un punto si, a la izquierda del punto, la función crece y, a la derecha, la función decrece.
• Mínimo: Una función tiene un mínimo en un punto si, a la izquierda, la función decrece y, a la derecha, crece.

Tipos de Funciones

Función lineal

Una función lineal es de la forma y = mx + n, donde m y n son números cualesquiera.

• La gráfica es una línea recta.
• m es la pendiente de la recta e indica su inclinación.
• n es la ordenada en el origen e indica el punto de corte con el eje y.

Función de proporcionalidad directa

Las funciones y = mx se llaman funciones de proporcionalidad directa (donde n = 0 y m ≠ 0). La pendiente es distinta de cero y se llama constante de proporcionalidad; su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Función cuadrática

Es de la forma y = ax² + bx + c, donde a ≠ 0 y a, b, c son números cualesquiera.

Análisis de la función cuadrática:

1. Orientación: a > 0 (cóncava hacia arriba :) ) y a < 0 (cóncava hacia abajo :( ).
2. Corte con los ejes.
3. Vértice de la parábola: x = -b / 2a.
4. Representación.
5. Dominio.
6. Recorrido.
7. Crecimiento y decrecimiento.
8. Máximos y mínimos.
9. Signo: f(x) > 0, f(x) < 0.
10. Eje de simetría: x = x_v.