Condición de heaviside

las impedancias equivalentes y conocidas de las dos redes que se desea adaptar, y sean jx e jy las reactancias que se desea obtener. La condición de adaptación en los puntos A-B se expresa según: * Ze th  Z a jb (3. 4) Por otra parte, la impedancia equivalente Ze se puede expresar en función de los dispositivos situados a la derecha de A-B según: Ze R  jy jx Z jy jx c jd (3. 5) Igualando por separado las partes reales e imaginarias de las ecuaciones (3.4) y (3.5) se obtiene el sistema de ecuaciones: Métodos y teoremas fundamentales de análisis 32 Re Re Im Im a jy jx c jd jx c jd b jy jx c jd y jx c jd  (3. 6) Obsérvese que de la primera ecuación es posible obtener el valor de x , y a continuación sustituirlo en la segunda ecuación para obtener el valor de y . Una vez obtenidos estos valores, conociendo la pulsación de trabajo es inmediato obtener el valor L, C de los componentes que conforman la red adaptadora. Por ejemplo, si x es positivo, corresponderá a una bobina cuyo valor verifique xL ; si por el contrario x es negativo, corresponderá a un condensador de valor tal que x1 C .Con el fin de obtener una última conclusión de relevancia práctica va a profundizarse un poco más en la solución de este sistema. Desarrollando el término: la primera ecuación del sistema (3.6) resulta: 2 2 22 2 2 2 0 x c a x a c x ad ac ad c xd Obsérvese que se trata de una ecuación de segundo grado, de la forma 2 x A xB C  0 , con dos raíces. Para que sus raíces sean reales (condición necesaria para que jx sea una bobina o un condensador, es decir, para que la red adaptadora sea LC), ha de verificarse:  2 2 2 2 22 B AC ad a c ac ad c d ac  4 02 4 0 , para lo cual es suficiente que se cumpla la condición c a  , es decir, que la parte real de ZR sea mayor que la parte real de Zth . Si de entrada esta condición no se verificara, habría que forzarla diseñando la red LC al revés, es decir, situando el elemento paralelo jx en el lado de Zth y planteando la condición de adaptación en los puntos C-D. En conclusión, la red adaptadora debe diseñarse con el elemento paralelo en el extremo de la impedancia equivalente con parte real mayor. El resultado del proceso de diseño que se ha descrito es una red en L con dos componentes reactivos. A este procedimiento de diseño se le suele denominar adaptación selectiva de impedancias. El término selectiva hace referencia al siguiente hecho: El resultado de aplicar las condiciones de adaptación son los valores jx y jy de los que se obtienen los dos dispositivos de la red adaptadora (es decir, una bobina de tantos henrios y un condensador de tantos faradios). Si una vez lograda la adaptación se modifica la pulsación del circuito, variarán los valores de las impedancias, jx y jy , de los dos dispositivos de la red LC adaptadora (aumentando en el caso de la bobina y disminuyendo en el caso del condensador). Ello provocará que deje de verificarse la condición de adaptación de impedancias y que la potencia transferida sea menor que la máxima (tanto menor cuanto más se modifique la pulsación). En definitiva, la red adaptadora se comporta selectivamente respecto de la pulsación, comportándose idealmente en el valor de pulsación para la que fue diseñada, y tanto peor cuanto más alejada esté la pulsación de este valor. 2.3 Señales sinusoidales 2.3.1 Definiciones SEÑAL PERIÓDICA Es aquella que se repite cada cierto intervalo de tiempo fijo, T, al que se denomina periodo de la señal (ver Fig. 2.1). T T Fig. 2.1: Señal periódica de periodo T . Analíticamente, una señal f ( )t es periódica si se verifica: T f t f t nT n / ( ) ( ), (2. 1) Al mínimo valor de T que verifica esta relación (obsérvese que si la verifica un valor T, también lo hará 2T, 3T, etc.) se le denomina periodo fundamental de la señal. Habitualmente, al periodo fundamental se le denomina directamente periodo de la señal. SEÑAL SINUSOIDAL Es una señal periódica cuya expresión habitual viene dada por: 0 00 y t A sen t () ( )(2. 2) ,donde:  A0 es la amplitud máxima que alcanza la señal. Viene dada en las mismas unidades que la señal. También se denomina amplitud de pico, y al doble de su valor amplitud pico-pico (ver Fig. 2.2).  0 es la velocidad de variación de fase, o pulsación. Viene dada en radianes/s. La pulsación está directamente relacionada con el periodo de la señal que normalmente vendrá dado en segundos: 0 00 0 0 0 00 0 0 0 () ( ) ( ) ( ( ) ) 2 2 () y t y t T A sen t A sen t T t k tT T k (2. 3) , que toma valor mínimo para k = 1, de donde: 0 2 T (2. 4) A partir del periodo se define la frecuencia de la señal, que se corresponde con el número de ciclos o periodos por segundo, y se mide en hertzios (Hz): Estudio de circuitos en RPS 4 1 0 2 f T (2. 5)  0 0  t  es la fase de la señal en cada instante, t. Puede venir dada en radianes o en grados, aunque es conveniente expresarla en radianes para evitar mezclar unidades, ya que la pulsación suele darse en rad/s. Varía linealmente entre 0 y 2 (ver Fig. 2.2). Al valor 0 se le denomina fase inicial de la señal, ya que es el valor que toma la fase en el instante t  0 . Puede venir dada en radianes o en grados, aunque nuevamente es conveniente expresarla en radianes para evitar complicaciones. A0  y(t) Amplitud máxima = A0 Fase y(t) = A0sen(0t+0) t t t A0 0 Amplitud Fase Señal Fig. 2.2: Evolución de la amplitud y fase de una señal sinusoidal. DESFASE ENTRE SEÑALES SINUSOIDALES El desfase (o, dicho de otro modo, la diferencia instantánea entre fases) entre dos señales sinusoidales de la misma frecuencia puede interpretarse como un retardo en el tiempo de una señal respecto de la otra. Dadas dos señales sinusoidales ( ) 1 y t e ( ) 2 y t , podemos interpretar su fase inicial como un tiempo inicial: 1 1 1 01 1 1 0 0 y t A sen t y t A sen t ( ) ( ) ( ) ( ( )) (2. 6) 2 2 2 02 2 2 0 0 y t A sen t y t A sen t ( ) ( ) ( ) ( ( ))  (2. 7) , lo que indica que la fase de la primera señal es nula para 1 10 t  y la de la segunda para 2 20 t Si 1 2 t t  (es decir, si 2 1 ), la señal y1 t presenta fase nula después que y2 t . Dicho de otro modo, 1 y t decimos que está retrasada con respecto a   2 y t un tiempo 0 12 t tt o bien que y2t está adelantada respecto de y1 t esa misma magnitud. También suele decirse que y1  t presenta un retardo de 0t con respecto a y2 t . La Fig. 2.3 ilustra gráficamente este concepto suponiendo 1   0 y 2 1Estudio de circuitos en RPS 5 y(t) t t0 y1(t) y2(t) Fig. 2.3: Desfase o retardo temporal entre dos señales sinusoidales. A partir del concepto de desfase es inmediato relacionar las funciones ‘seno’ y ‘coseno’. Efectivamente, si representamos gráficamente la función seno tomando una fase inicial de  / 2 radianes (ver Fig. 2.4), podemos comprobar que el resultado es precisamente la función coseno. De aquí la identidad habitualmente estudiada en los cursos de trigonometría: 0 0 cos( ) 2 sen t t(2. 8) y(t) t sen(0t) cos(0t) (20) Fig. 2.4: Representación gráfica de las funciones seno y coseno. Como veremos a lo largo de este tema, en la resolución de ciertos problemas no se asigna a las señales un determinado origen de tiempos ya que no interesa conocer la fase absoluta de las señales involucradas sino sus fases relativas (es decir, los desfases entre ellas). En estas situaciones se habla sin embargo de la fase de una señal, indicando en realidad su desfase con respecto a una señal que se considera o acuerda origen de fases o de fase nula. VALOR MEDIO Y VALOR EFICAZ El valor medio de una señal genérica y(t) en un intervalo 1 2 t  t  t se define como la media de los valores instantáneos que y(t) toma en dicho intervalo:   2 1 2 1 , 2 1 1 ( ) t t t m t A y t dt t t    (2. 9) En el caso de señales periódicas se habla simplemente de valor medio y se asume que el intervalo de cálculo es t2  t1  T , su periodo. Dado que todos los periodos son iguales, la integral se podrá calcular sobre cualquier periodo de la señal. Así, para una señal y(t) periódica de periodo T:   T m y t dt T A ( ) 1 (2. 10) Estudio de circuitos en RPS 6 Si y(t) es además una función sinusoidal de pulsación 0 (y por tanto 0 T  2  ) el valor medio será siempre nulo: 0 0 2 2 0 00 00 0 0 0 0 ( ) cos( ) 0 2 2 m A A A sen t dt t(2. 11) Nota: En el terreno de la electricidad el valor medio de una señal de corriente o tensión puede interpretarse como el valor de señal continua que transportara la misma cantidad neta de carga. El valor eficaz al cuadrado de una señal genérica y(t) en un intervalo 1 2 t  t  t se define como la media de los valores instantáneos al cuadrado1 que la señal toma en dicho intervalo:   2 1 2 1 , 2 2 1 1 ( ) t t t ef t A y t dt t t    (2. 12) Análogamente a lo visto para el valor medio, si y(t) es una señal periódica se asumirá directamente que t2  t1  T :   T ef y t dt T A ( ) 1 2 (2. 13) Si y(t) es además una función sinusoidal de pulsación 0 el valor eficaz será: 0 0 0 2 2 2 2 2 2 22 0 00 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 cos(2 ) sin( ) 1 ( ) 2 2 2 22 2 ef A tA t A A sen t dt dt t 2 2 00 0 0 0 2 2 2 ef A A A A      (2. 14) Nota: En el terreno de la electricidad el valor eficaz de una señal de corriente (o tensión) alterna se corresponde con aquél que tendría una corriente (o tensión) continua que produjera la misma potencia media al aplicarse sobre una misma resistencia . Nota: Cuando medimos con un multímetro básico valores de tensiones o corrientes alternas, las medidas obtenidas se refieren exclusivamente a sus valores eficaces.