Cuadriláteros, polígonos y transformaciones geométricas: conceptos clave en Plástica y Educación Artística

Cuadriláteros, polígonos y transformaciones geométricas

Un cuadrilátero inscriptible es aquel cuyos vértices son puntos de una circunferencia. Sus ángulos suman dos rectos.

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Un cuadrilátero circunscriptible es aquel cuyos lados son tangentes a una circunferencia. Los segmentos que unen un vértice a los puntos de tangencia en los lados que pasan por él son iguales. El punto de Newton está en la intersección de las diagonales y de los segmentos que unen los puntos T.

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Clasificación de cuadriláteros

• Paralelogramos: cuadrado, rectángulo, rombo, romboide.
• Trapecios: trapecio rectángulo, trapecio isósceles, trapecio escaleno.

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La base media del trapecio es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos. Es paralelo a las bases y corresponde a la semisuma de estas.

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La propiedad que no tienen los trapezoides es que no tienen lados paralelos.

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Tipos de polígonos

• Polígono equilátero: todos sus lados son iguales.
• Polígono equiángulo: todos sus ángulos son iguales.
• Polígono regular: polígono equilátero y equiángulo a la vez.
• Polígono irregular: ni ángulos ni lados iguales.
• Polígono inscrito: tiene sus vértices en una circunferencia y sus lados son cuerdas de esta.
• Polígono circunscrito: sus lados son tangentes a una circunferencia.

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La apotema de un polígono regular es la distancia que hay desde el centro a uno de los lados.

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• Polígono cóncavo: no se encuentra en su totalidad en uno de los semiplanos definidos por una recta que pase por uno de sus lados.
• Polígono convexo: se encuentra en su totalidad en uno de los semiplanos definidos por una recta que pasa por uno de sus lados.

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Un polígono estrellado es el que se obtiene al unir de dos en dos, de tres en tres, etc., los vértices de un polígono regular convexo.

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Isometrías

• Isometría directa: si la operación de superposición de una figura en su homóloga se realiza con movimientos en el plano que la contiene.
• Isometría inversa: caso contrario, como la simetría axial.

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Semejanza

Semejanza entre dos figuras: son figuras que tienen igual forma pero distinto tamaño.

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La razón de semejanza: es el factor K. Si A y B son puntos homólogos de A' y B', se verifica que A'B' = K·AB.

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Para que dos triángulos sean semejantes deben tener sus ángulos homólogos iguales y sus lados correspondientes proporcionales.

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Simetrías

La simetría axial se produce cuando: dos puntos son simétricos respecto de una recta llamada eje de simetría. Cada punto de la primera figura tiene su simétrico respecto del eje en la segunda. Los puntos del eje son homólogos de sí mismos. Las rectas homólogas se cortan en el eje y forman el mismo ángulo con él. Los segmentos homólogos son iguales.

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La simetría central se forma cuando dos puntos son simétricos respecto de un centro O, si este es el punto medio del segmento que los une. Cada punto de la primera figura tiene su simétrico respecto del centro en la segunda. Los puntos del centro son homólogos de sí mismos. Las rectas homólogas se cortan en el centro y forman el mismo ángulo con él. Los segmentos homólogos son iguales.

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La simetría múltiple es cuando hay más de un eje de coordenadas.

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Transformaciones geométricas

Una traslación es una transformación en el plano por la que a todo punto A de la primera figura le corresponde otro A' de la segunda figura, de modo que el segmento AA' sea paralelo a un segmento dado, y tenga el mismo sentido y longitud que dicho segmento.

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Un giro es una transformación en el plano por la que a todo punto A de una figura F le corresponde otro punto A' de una figura F', tal que sus distancias al centro son iguales y el ángulo AOA' es igual y del mismo sentido para todos los puntos de la figura girada; se llama ángulo de giro. Un giro múltiple es cuando se aplican más giros sucesivos a un motivo.

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Circunferencia y tangencia

Un arco de circunferencia rectificado es un segmento rectilíneo cuya longitud es igual a la del arco.

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Dos figuras son equivalentes cuando tienen la misma superficie siendo de distinta forma geométrica.

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Dos figuras son tangentes si solo tienen un único punto en común.

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La propiedad que tiene el punto de tangencia de una recta a una circunferencia es que es el pie de la perpendicular trazada desde el centro de la circunferencia a la recta.

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La relación que tienen los centros de dos circunferencias tangentes entre sí en el punto de tangencia es que los dos puntos, centro O y el punto T, están alineados.

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Posiciones relativas de dos circunferencias (secantes, interiores, exteriores, concéntricas).

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Posiciones de una recta respecto a una circunferencia (normal, tangente, secante, exterior).

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Si una circunferencia es tangente a dos rectas que se cortan, su centro se encuentra en la línea bisectriz del ángulo que forman las dos rectas.

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Para encontrar el centro de una circunferencia dada se trazan las mediatrices de dos de sus cuerdas.