Desviación Relativa de la Vertical y Ecuación de Laplace en Geodesia

Definición de la Desviación Relativa de la Vertical

La desviación relativa de la vertical (denotada por θ) es el ángulo que forman la normal geodésica (normal al elipsoide de referencia) y la normal astronómica (tangente a la dirección de la línea de la plomada o vertical del lugar) en un punto determinado de la superficie terrestre.

Se denomina relativa porque su valor depende de:

• El Punto Astronómico Fundamental (PAF).
• El elipsoide de referencia adoptado.
• Las coordenadas asignadas al punto.
• Los métodos de observación empleados.

Elementos y Parámetros Fundamentales

A partir de la representación en la esfera celeste y el globo terrestre, se definen los siguientes elementos:

• PA: Dirección de la vertical astronómica.
• PG: Normal al elipsoide de referencia.
• A, G: Cenit astronómico y cenit geodésico, respectivamente.
• P_N: Polo Norte celeste/terrestre.
• P_NA: Meridiano astronómico del punto P.
• P_NG: Meridiano geodésico del punto P.
• V: Dirección del punto observado.
• AV = Z_a: Distancia cenital astronómica de la visual PV.
• GV = Z_g: Distancia cenital geodésica de la visual PV.
• Arco P_NA: Co-latitud astronómica, igual a 90° - Φ (donde Φ es la latitud astronómica).
• Arco P_NG: Co-latitud geodésica, igual a 90° - φ (donde φ es la latitud geodésica).
• Ángulo AP_NG: Diferencia de longitudes Λ - λ (longitud astronómica menos longitud geodésica).
• Ángulo APG (θ): Desviación total de la vertical, calculada como θ = √(ξ2 + η2).
• E: Acimut astronómico de la desviación de la vertical θ.

Componentes de la Desviación de la Vertical

La desviación total se descompone en dos direcciones ortogonales principales:

• Componente meridiana (ξ): ξ = Φ - φ
• Componente en el primer vertical (η): η = (Λ - λ) · cos(φ)

Fórmulas de Bessel de Trigonometría Esférica

Para la resolución y deducción en los triángulos esféricos, se aplican los teoremas fundamentales de Bessel:

• Teorema del seno: sen(a) / sen(A) = sen(b) / sen(B)
• Teorema del coseno: cos(a) = cos(b) · cos(c) + sen(b) · sen(c) · cos(A)
• Teorema del seno-coseno: sen(c) · cos(A) = cos(a) · sen(b) - sen(a) · cos(b) · cos(C)

Demostración Matemática en el Triángulo ANG

• Aplicando el Teorema del Seno:
  sen(η) / sen(180° - E) = sen(θ) / sen(90°)
  Dado que sen(η) ≈ η y sen(θ) ≈ θ para ángulos infinitesimales:
  sen(η) = η = -θ · sen(E) ⇒ η = -θ · sen(E)
• Aplicando el Teorema del Seno-Coseno:
  sen(θ) · cos(E - 180°) = cos(η) · sen(ξ) - sen(η) · cos(ξ) · cos(90°)
  Como cos(90°) = 0 y cos(η) ≈ 1:
  -sen(θ) · cos(E) = cos(η) · sen(ξ) ⇒ ξ = -θ · cos(E)

Demostración Matemática en el Triángulo AP_NG

• Aplicando el Teorema del Seno:
  sen(θ) / sen(Λ - λ) = sen(90° - φ) / sen(360° - E)
-sen(θ) · sen(E) = sen(Λ - λ) · cos(φ)
  Por aproximación de arcos pequeños:
  -θ · sen(E) = (Λ - λ) · cos(φ)
• Aplicando el Teorema del Seno-Coseno:
  sen(θ) · cos(360° - E) = cos(90° - φ) · sen(90° - Φ) - sen(90° - φ) · cos(90° - Φ) · cos(Λ - λ)
  Sustituyendo y simplificando con cos(Λ - λ) ≈ 1:
  θ · cos(E) = sen(φ) · cos(Φ) - cos(φ) · sen(Φ) = -sen(Φ - φ)
  Φ - φ = -θ · cos(E)

Igualación de Expresiones

De ambas deducciones se concluye la equivalencia de las componentes:

• η = -θ · sen(E) = (Λ - λ) · cos(φ)
• ξ = -θ · cos(E) = Φ - φ

Corrección por Desviación Relativa de la Vertical y Ecuación de Laplace

La relación entre las observaciones astronómicas y geodésicas se formula a través de la Ecuación de Laplace:

• Ecuación de Laplace completa:
  ΔA = Aa - Ag = (Λ - λ) · sen(φ) + (ξ · sen(Aa) - η · cos(Aa)) · cotg(Z)
• Ecuación de Laplace simplificada (para visuales horizontales):
  ΔA = (Λ - λ) · sen(φ) = η · tg(φ)

Determinación del Acimut Geodésico

El cálculo del acimut geodésico (A_g) a partir del acimut astronómico (A_a) se expresa como:

Ag = Aa - (Λ - λ) · sen(φ) - (ξ · sen(Aa) - η · cos(Aa)) · cotg(Zg)

En forma simplificada horizontal:

Ag = Aa - (Λ - λ) · sen(φ) = Aa - η · tg(φ)

Demostración de la Corrección Acimutal

Definiendo los ángulos horarios relativos a las visuales:

Aa = 180° + Hva
Ag = 180° + Hvg

La diferencia acimutal se descompone geométricamente en dos términos: la rotación por convergencia de meridianos (HK) y la inclinación del eje de colimación (V_aV_g):

Aa - Ag = HK - VaVg = (Λ - λ) · sen(φ) + (ξ · sen(Aa) - η · cos(Aa)) · cotg(Zg)

Puesto que η = (Λ - λ) · cos(φ), se verifica que (Λ - λ) · sen(φ) = η · tg(φ). Para visuales estrictamente horizontales, el término VaVg = 0.

Cálculo del Componente HK

En el triángulo esférico asociado al meridiano:

sen(HK) / sen(Λ - λ) = sen(180° - φ) / sen(90°)
sen(HK) = sen(Λ - λ) · sen(φ) ⇒ HK ≈ (Λ - λ) · sen(φ)

Cálculo del Componente V_aV_g en el Triángulo V_gVV_a

1. Por el teorema del seno:
   sen(VaVg) / sen(V) = sen(90° - Zg) / sen(90°)
(1) sen(VaVg) = cos(Zg) · sen(V)
2. Dado que el ángulo V no se conoce de forma directa, se recurre al triángulo esférico AGV:
   sen(θ) / sen(V) = sen(Zg) / sen(Aa - E)
(2) sen(V) = [sen(θ) · sen(Aa - E)] / sen(Zg)
3. Sustituyendo la ecuación (2) en (1):
   sen(VaVg) = θ · sen(Aa - E) · cotg(Zg)
4. Desarrollando la identidad trigonométrica sen(Aa - E) = sen(Aa) · cos(E) - cos(Aa) · sen(E):
   Sabiendo que ξ = -θ · cos(E) y η = -θ · sen(E):
   VaVg = [sen(Aa) · (-ξ) + cos(Aa) · η] · cotg(Zg)
   V_aV_g = -(ξ · sen(A_a) - η · cos(A_a)) · cotg(Z_g)

Queda así demostrada la formulación rigurosa de la corrección por desviación de la vertical en el acimut geodésico.