Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones y subespacios vectoriales

Discuta y resuelva

Discuta y resuelva

Lo primero que hacemos es sacar una matriz del sistema, formado por los coeficientes de (x,y,z), pero añadiéndole también los demás componentes, siendo así una matriz ampliada.

Para discutir el sistema de ecuaciones vamos a utilizar el Teorema de Rouche-Frobenius,

el cual nos dice que un sistema de n incógnitas, con matriz de coeficientes A y

matriz ampliada Am, se puede clasificar en función del rango:

• El sistema es compatible determinado si Rg(A) = Rg(Am) = n
• El sistema es compatible indeterminado si Rg(A) = Rg(Am) <=
• El sistema es incompatible si Rg(A) ≠ Rg(Am)

Para calcular el rango tenemos dos posibilidades:

1. Determinante: El rango es el tamaño de la matriz más grande con determinante
2. distinto de cero. (Sacando determinantes)

Matriz escalonada (Gauss): El rango es el número de las no nulas, una vez hayamos

escalonado la matriz original. (Restando columnas para hacer 0 en las esquinas)

Ir explicando todo y cada cosa que se utiliza. Explicar por qué son SCD, SCI, SI...

Subespacios vectoriales

Subespacios vectoriales

Un espacio vectorial es un conjunto de vectores. Un espacio vectorial (E) de R3(R3=E) es el conjunto de todos los infinitos vectores de R3. Y un subespacio vectorial (s) es un subconjunto del espacio vectorial.

Una base de un subespacio vectorial es un conjunto de vectores que son sistema

generador del subespacio y, además, son linealmente independientes. Los vectores

son sistema generador de L ya que son vectores de R4 ó 3. Tenemos que comprobar si

son linealmente independientes.

Si son linealmente independientes, son base de L. El espacio vectorial que define

tendrá dimensión (3 o 4), ya que la base está formada por (3 o 4) vectores. Como la dimensión es una menos que el espacio vectorial que lo contiene, podremos calcular la cartesiana mediante el determinante.

Para la obtención de las ecuaciones cartesianas, podemos utilizar el método de Gauss o por determinante.