Divisibilidad

Tema 3: Divisibilidad; Un numero es divisible por otro cuando su division es exacta; Decir que un numero es divisible por otro es lo mismo que decir que: -el numero mayor es multiplo del menor. -el numero menor es divisor del mayor. Ej. 21 es divisible por 3, 21 es multiplo de 3, 3 es divisor de 21; Decir que "a es divisible por b" es lo mismo que decir "a es multiplo de b" y es lo mismo que decir que "b es divisor de a"; -Todo numero natural tiene infinitos multiplos, que se obtiene multiplicandolo por ,0 ,1 ,2, 3,... -Hay una cantidad limitada de divisores de un numero Ej. el 21 tiene 4 divisores positivos y 4 negativos). -Todo numero natural es divisor y multiplo de si mismo. -El numero 1 y el -1 son divisores de todos los numeros. -El numero 0 es multiplo de todos los numeros y no es divisor de ninguno; Divisores de un numero; numeros primos: Un numero puede tener varios divisores. Para hallar los divisores de un numero hay que dividirlo por 1, 2, 3, 4,... Si la division es exacta, se obtiene un divisor del numero. Ej. Los divisores positivos de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12 (los negativos son -1, -2, -3, -4, -6 y -12). Los divisores positivos de 21 son 1, 3, 7 y 21 (los negativos son -1, -3, -7 y -21); -Un numero se llama PRIMO si tiene dos y solo dos divisores positivos. -Un numero se llama COMPUESTO si tiene mas de dos divisores positivos. Ej. Los numeros 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29... Son primos; Los numeros 8, 25, 40 son compuestos; Criterios de divisibilidad: Divisibilidad por 2: Un numero es divisible por 2 si es par. Divisibilidad por 3: Un numero es divisible por 3 si la suma de sus cifras es multiplo de 3. Divisibilidad por 5: Un numero es divisible por 5 si termina en 0 o en 5. Divisibilidad por 11: Un numero es divisible por 11 si la suma de las cifras que ocupan lugar impar, menos la de las cifras que ocupan lugar par es 0, 11 o multiplo de 11. Descomposicion factorial de un numero en factores primos: -Descomponer un numero en factores es escribirlo como producto de algunos de sus divisores. Ej. 72 = 2 · 36 o tambien 72 = 8 · 9, hay varias posibilidades. -Factor de un numero es cada uno de sus divisores. -Factorizar un numero es escribirlo como producto de algunos de sus divisores. -Un numero puede descomponerse factorialmente de varias maneras. -Si todos los factores son primos se dice que esta descompuesto como producto de factores primos. -La descomposicion en factores primos se hace de manera unica, salvo el orden de esos factores. Ej. 72 puede escribirse como: 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 y -50 se escribiria como -50 se escribiria como -50 = -2 · 5 · 5. Cuando un factor se repite se puede expresar como una potencia. Asi: 72 = 2³ · 3² y -50 = -2 · 5². -Para encontrar los factores primos se aplican los criterios de divisibilidad por los numeros primos en orden creciente y se divide por aquellos que resulte divisible hasta que el cociente se 1. -En la practica se realiza escribiendo solo los cocientes y los divisores (ya que los restos son cero). MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO DE DOS NUMEROS: Dos o mas numeros pueden tener varios divisores comunes. El mayor de ellos se llama maximo comun divisor: m.c.d. Ej. Los numeros 48 y 36 tienen varios divisores comunes. El mayor de ellos es 12. Divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48. Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36. Dos o mas numeros tienen infinitos multiplos comunes. El menor de ellos se llama minimo comun multiplo: m.c.m. Ej. Los numeros 48 y 36 tienen infinitos multiplos comunes. El menor de ellos es 144. Multiplos de 48: 48, 96, 144, 192, 240... Multiplos de 36: 36, 72, 108, 144, 180, 216... Criterio para hallar el m.c.d. y el m.c.m. de los numeros: -Primero se descomponen los numeros dados en sus factores primos. -El m.c.d. se obtiene multiplicando los factores primos comunes a ambos numeros afectados con el menor exponente. -El m.c.m. se obtiene multiplicando los factores comunes y no comunes a ambos numeros afectados con el mayor exponente. Ej. Los numeros 48 y 36 se descomponen asi: 48 = 2⁴ · 3; 36 = 2² ·3² Por tanto, m.c.d (48, 36) = 2² · 3 = 12 , m.c.m. (48, 36) = 2⁴ · 3² = 16 · 9 = 144.

Tema 3: Divisibilidad; Un numero es divisible por otro cuando su division es exacta; Decir que un numero es divisible por otro es lo mismo que decir que: -el numero mayor es multiplo del menor. -el numero menor es divisor del mayor. Ej. 21 es divisible por 3, 21 es multiplo de 3, 3 es divisor de 21; Decir que "a es divisible por b" es lo mismo que decir "a es multiplo de b" y es lo mismo que decir que "b es divisor de a"; -Todo numero natural tiene infinitos multiplos, que se obtiene multiplicandolo por ,0 ,1 ,2, 3,... -Hay una cantidad limitada de divisores de un numero Ej. el 21 tiene 4 divisores positivos y 4 negativos). -Todo numero natural es divisor y multiplo de si mismo. -El numero 1 y el -1 son divisores de todos los numeros. -El numero 0 es multiplo de todos los numeros y no es divisor de ninguno; Divisores de un numero; numeros primos: Un numero puede tener varios divisores. Para hallar los divisores de un numero hay que dividirlo por 1, 2, 3, 4,... Si la division es exacta, se obtiene un divisor del numero. Ej. Los divisores positivos de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12 (los negativos son -1, -2, -3, -4, -6 y -12). Los divisores positivos de 21 son 1, 3, 7 y 21 (los negativos son -1, -3, -7 y -21); -Un numero se llama PRIMO si tiene dos y solo dos divisores positivos. -Un numero se llama COMPUESTO si tiene mas de dos divisores positivos. Ej. Los numeros 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29... Son primos; Los numeros 8, 25, 40 son compuestos; Criterios de divisibilidad: Divisibilidad por 2: Un numero es divisible por 2 si es par. Divisibilidad por 3: Un numero es divisible por 3 si la suma de sus cifras es multiplo de 3. Divisibilidad por 5: Un numero es divisible por 5 si termina en 0 o en 5. Divisibilidad por 11: Un numero es divisible por 11 si la suma de las cifras que ocupan lugar impar, menos la de las cifras que ocupan lugar par es 0, 11 o multiplo de 11. Descomposicion factorial de un numero en factores primos: -Descomponer un numero en factores es escribirlo como producto de algunos de sus divisores. Ej. 72 = 2 · 36 o tambien 72 = 8 · 9, hay varias posibilidades. -Factor de un numero es cada uno de sus divisores. -Factorizar un numero es escribirlo como producto de algunos de sus divisores. -Un numero puede descomponerse factorialmente de varias maneras. -Si todos los factores son primos se dice que esta descompuesto como producto de factores primos. -La descomposicion en factores primos se hace de manera unica, salvo el orden de esos factores. Ej. 72 puede escribirse como: 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 y -50 se escribiria como -50 se escribiria como -50 = -2 · 5 · 5. Cuando un factor se repite se puede expresar como una potencia. Asi: 72 = 2³ · 3² y -50 = -2 · 5². -Para encontrar los factores primos se aplican los criterios de divisibilidad por los numeros primos en orden creciente y se divide por aquellos que resulte divisible hasta que el cociente se 1. -En la practica se realiza escribiendo solo los cocientes y los divisores (ya que los restos son cero). MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO DE DOS NUMEROS: Dos o mas numeros pueden tener varios divisores comunes. El mayor de ellos se llama maximo comun divisor: m.c.d. Ej. Los numeros 48 y 36 tienen varios divisores comunes. El mayor de ellos es 12. Divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48. Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36. Dos o mas numeros tienen infinitos multiplos comunes. El menor de ellos se llama minimo comun multiplo: m.c.m. Ej. Los numeros 48 y 36 tienen infinitos multiplos comunes. El menor de ellos es 144. Multiplos de 48: 48, 96, 144, 192, 240... Multiplos de 36: 36, 72, 108, 144, 180, 216... Criterio para hallar el m.c.d. y el m.c.m. de los numeros: -Primero se descomponen los numeros dados en sus factores primos. -El m.c.d. se obtiene multiplicando los factores primos comunes a ambos numeros afectados con el menor exponente. -El m.c.m. se obtiene multiplicando los factores comunes y no comunes a ambos numeros afectados con el mayor exponente. Ej. Los numeros 48 y 36 se descomponen asi: 48 = 2⁴ · 3; 36 = 2² ·3² Por tanto, m.c.d (48, 36) = 2² · 3 = 12 , m.c.m. (48, 36) = 2⁴ · 3² = 16 · 9 = 144.

Tema 3: Divisibilidad; Un numero es divisible por otro cuando su division es exacta; Decir que un numero es divisible por otro es lo mismo que decir que: -el numero mayor es multiplo del menor. -el numero menor es divisor del mayor. Ej. 21 es divisible por 3, 21 es multiplo de 3, 3 es divisor de 21; Decir que "a es divisible por b" es lo mismo que decir "a es multiplo de b" y es lo mismo que decir que "b es divisor de a"; -Todo numero natural tiene infinitos multiplos, que se obtiene multiplicandolo por ,0 ,1 ,2, 3,... -Hay una cantidad limitada de divisores de un numero Ej. el 21 tiene 4 divisores positivos y 4 negativos). -Todo numero natural es divisor y multiplo de si mismo. -El numero 1 y el -1 son divisores de todos los numeros. -El numero 0 es multiplo de todos los numeros y no es divisor de ninguno; Divisores de un numero; numeros primos: Un numero puede tener varios divisores. Para hallar los divisores de un numero hay que dividirlo por 1, 2, 3, 4,... Si la division es exacta, se obtiene un divisor del numero. Ej. Los divisores positivos de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12 (los negativos son -1, -2, -3, -4, -6 y -12). Los divisores positivos de 21 son 1, 3, 7 y 21 (los negativos son -1, -3, -7 y -21); -Un numero se llama PRIMO si tiene dos y solo dos divisores positivos. -Un numero se llama COMPUESTO si tiene mas de dos divisores positivos. Ej. Los numeros 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29... Son primos; Los numeros 8, 25, 40 son compuestos; Criterios de divisibilidad: Divisibilidad por 2: Un numero es divisible por 2 si es par. Divisibilidad por 3: Un numero es divisible por 3 si la suma de sus cifras es multiplo de 3. Divisibilidad por 5: Un numero es divisible por 5 si termina en 0 o en 5. Divisibilidad por 11: Un numero es divisible por 11 si la suma de las cifras que ocupan lugar impar, menos la de las cifras que ocupan lugar par es 0, 11 o multiplo de 11. Descomposicion factorial de un numero en factores primos: -Descomponer un numero en factores es escribirlo como producto de algunos de sus divisores. Ej. 72 = 2 · 36 o tambien 72 = 8 · 9, hay varias posibilidades. -Factor de un numero es cada uno de sus divisores. -Factorizar un numero es escribirlo como producto de algunos de sus divisores. -Un numero puede descomponerse factorialmente de varias maneras. -Si todos los factores son primos se dice que esta descompuesto como producto de factores primos. -La descomposicion en factores primos se hace de manera unica, salvo el orden de esos factores. Ej. 72 puede escribirse como: 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 y -50 se escribiria como -50 se escribiria como -50 = -2 · 5 · 5. Cuando un factor se repite se puede expresar como una potencia. Asi: 72 = 2³ · 3² y -50 = -2 · 5². -Para encontrar los factores primos se aplican los criterios de divisibilidad por los numeros primos en orden creciente y se divide por aquellos que resulte divisible hasta que el cociente se 1. -En la practica se realiza escribiendo solo los cocientes y los divisores (ya que los restos son cero). MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO DE DOS NUMEROS: Dos o mas numeros pueden tener varios divisores comunes. El mayor de ellos se llama maximo comun divisor: m.c.d. Ej. Los numeros 48 y 36 tienen varios divisores comunes. El mayor de ellos es 12. Divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48. Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36. Dos o mas numeros tienen infinitos multiplos comunes. El menor de ellos se llama minimo comun multiplo: m.c.m. Ej. Los numeros 48 y 36 tienen infinitos multiplos comunes. El menor de ellos es 144. Multiplos de 48: 48, 96, 144, 192, 240... Multiplos de 36: 36, 72, 108, 144, 180, 216... Criterio para hallar el m.c.d. y el m.c.m. de los numeros: -Primero se descomponen los numeros dados en sus factores primos. -El m.c.d. se obtiene multiplicando los factores primos comunes a ambos numeros afectados con el menor exponente. -El m.c.m. se obtiene multiplicando los factores comunes y no comunes a ambos numeros afectados con el mayor exponente. Ej. Los numeros 48 y 36 se descomponen asi: 48 = 2⁴ · 3; 36 = 2² ·3² Por tanto, m.c.d (48, 36) = 2² · 3 = 12 , m.c.m. (48, 36) = 2⁴ · 3² = 16 · 9 = 144.