Dominando la Demostración de Identidades Trigonométricas: Ejercicios Resueltos

Demostración de Identidades Trigonométricas

Para demostrar estas identidades, aplicaremos la denominada "Regla de Oro":

1. Elige el lado más complejo: Es más fácil simplificar una expresión que expandirla.
2. Pasa todo a Senos y Cosenos: Facilita la visualización de términos comunes y simplificaciones.
3. Usa álgebra: Aplica suma de fracciones, factorización y simplificación de términos.

Ejercicio V

Expresión: (cot a - tan a) / (cot a + tan a) = cos(2a)

Paso 1: Convertir a senos y cosenos (Lado Izquierdo)

• Numerador: (cos a / sen a) - (sen a / cos a)
• Denominador: (cos a / sen a) + (sen a / cos a)

Paso 2: Suma y resta de fracciones

• Numerador: (cos² a - sen² a) / (sen a * cos a)
• Denominador: (cos² a + sen² a) / (sen a * cos a)

Paso 3: Simplificar (Ley de la Doble C)

Se cancelan los denominadores iguales (sen a * cos a), quedando: (cos² a - sen² a) / (cos² a + sen² a)

Paso 4: Aplicar Identidades

• Denominador: cos² a + sen² a = 1
• Numerador: cos² a - sen² a = cos(2a)

Resultado: cos(2a) / 1 = cos(2a) (¡Demostrado!)

Ejercicio Y

Expresión: (cos φ / sen φ) + (sen φ / (1 + cos φ)) = csc φ

Paso 1: Sumar las fracciones (Mínimo Común Múltiplo - MCM)

• Numerador: cos φ * (1 + cos φ) + sen φ * sen φ
• Denominador: sen φ * (1 + cos φ)

Paso 2: Distribuir en el numerador

(cos φ + cos² φ + sen² φ) / [sen φ * (1 + cos φ)]

Paso 3: Identidad Pitagórica

Sabemos que cos² φ + sen² φ = 1. Sustituimos: (cos φ + 1) / [sen φ * (1 + cos φ)]

Paso 4: Simplificar

Se cancela el término (1 + cos φ) arriba y abajo: 1 / sen φ = csc φ (¡Demostrado!)

Ejercicio W - Nivel Avanzado

Expresión: [sen(β + 2α) + sen β] / [2 sen(β + α)] = cos α

Paso 1: Transformación de Suma a Producto

Fórmula: sen A + sen B = 2 sen((A+B)/2) cos((A-B)/2)

Donde: A = β + 2α y B = β

• (A+B)/2 = (2β + 2α)/2 = β + α
• (A-B)/2 = (2α)/2 = α

Paso 2: Sustituir y simplificar

[2 sen(β + α) * cos α] / [2 sen(β + α)]

Se cancela el término común 2 sen(β + α). Resultado: cos α (¡Demostrado!)

Ejercicio Z - Nivel Avanzado

Expresión: [(sec² x - 1) * (cos²(x/2) - sen²(x/2))] / tan x = sen x

Paso 1: Identificar identidades

• Parte A: (sec² x - 1) = tan² x
• Parte B: (cos²(x/2) - sen²(x/2)) = cos x (Identidad de ángulo doble para x/2)

Paso 2: Reescribir y simplificar

(tan² x * cos x) / tan x = tan x * cos x

Paso 3: Convertir a senos y cosenos

(sen x / cos x) * cos x

Se cancelan los cosenos. Resultado: sen x (¡Demostrado!)