Tasa de variación, derivadas y optimización de funciones: ejercicios resueltos

Resumen

El documento recoge ejercicios resueltos sobre tasa de variación, tasa de variación media e instantánea, y análisis de funciones mediante derivadas. Incluye el estudio de crecimiento y decrecimiento, la localización de máximos y mínimos con la prueba de la segunda derivada, y un problema de optimización del consumo de combustible según la velocidad. Termina con un glosario de conceptos clave.

Puntos clave

La tasa de variación se calcula como TV = f(final) - f(inicial).
La tasa de variación media se obtiene como (f(b) - f(a)) / (b - a).
La tasa de variación instantánea corresponde al valor de la derivada en un punto.
Si la derivada es positiva en un punto, la función es creciente en ese punto; si es negativa, decreciente.
Los puntos críticos se hallan igualando la primera derivada a cero.
Según la prueba de la segunda derivada, un valor negativo indica máximo y uno positivo indica mínimo.
La velocidad que minimiza el consumo del ejemplo es 25 km/h.

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Ejercicios de Tasa de Variación y Aplicaciones de la Derivada

1. Tasa de Variación (TV)

a) ¿Cuál es la tasa de variación de la hora 2 a la hora 5?

Procedimiento:

TV = f(final) - f(inicial)
TV = f(5) - f(2)
TV = 1543 - 1125
Resultado: 418 tornillos

b) ¿Cuál es la tasa de variación de la hora en donde hubo menor producción a la hora en la cual hubo mayor producción?

TV = 1845 - 1125

2. Tasa de Variación Media (TVM)

Evaluar en x = 6: f(6) = 3(6)² - 4(6) + 2 = 3(36) - 24 + 2 = 108 - 24 + 2 = 86
Evaluar en x = 2: f(2) = 3(2)² - 4(2) + 2 = 3(4) - 8 + 2 = 12 - 8 + 2 = 6
Calcular TVM: (f(6) - f(2)) / (6 - 2) = (86 - 6) / 4 = 80 / 4

Resultado: TVM = 20

3. Tasa de Variación Instantánea (TVI)

Obtener la derivada: f'(x) = 0.4 + 2.4x - 0.402x²
Evaluar en x = 5:
- f'(5) = 0.4 + 2.4(5) - 0.402(5)²
- f'(5) = 0.4 + 12 - 0.402(25)
- f'(5) = 12.4 - 10.05

Resultado: TVI = 2.35

Análisis de Funciones: Crecimiento y Optimización

1. Crecimiento y Decrecimiento

Derivar la función: f'(x) = 6x² + 10x - 8
Evaluar en x = 6: f'(6) = 6(36) + 10(6) - 8 = 216 + 60 - 8 = 268. Como es positivo (>0), es Creciente.
Evaluar en x = -7: f'(-7) = 6(-7)² + 10(-7) - 8 = 6(49) - 70 - 8 = 294 - 78 = 216. Como es positivo (>0), es Creciente.

2. Máximos y Mínimos

Primera derivada: y' = 6x² - 24x + 18
Igualar a cero: 6(x² - 4x + 3) = 0 -> (x-3)(x-1) = 0. Puntos críticos: x = 1, x = 3.
Segunda derivada: y'' = 12x - 24
Prueba de la segunda derivada:
- Para x = 1: y''(1) = 12(1) - 24 = -12. (Negativo = Máximo). Valor de y: 2(1)³ - 12(1)² + 18(1) + 1 = 9. Máximo en (1, 9).
- Para x = 3: y''(3) = 12(3) - 24 = 12. (Positivo = Mínimo). Valor de y: 2(3)³ - 12(3)² + 18(3) + 1 = 1. Mínimo en (3, 1).

3. Optimización de Combustible

Función de consumo: C(v) = 0.08v² - 4v + 75

a) ¿Qué velocidad minimiza el consumo?

Igualar a cero la derivada: 0.16v = 4 -> v = 4 / 0.16 = 25

Resultado: 25 km/h

b) ¿Cuál es el consumo mínimo?

C(25) = 0.08(25)² - 4(25) + 75
C(25) = 0.08(625) - 100 + 75
C(25) = 50 - 100 + 75 = 25
Resultado: 25 litros

Conceptos Clave y Glosario

Tasa de variación: Variación entre dos valores en un periodo de tiempo determinado.
Función creciente: Al aumentar el valor de X, el valor de Y aumenta también.
Optimización: Su objetivo es encontrar los valores máximos o mínimos de una función.
Tasa de variación instantánea: Es prácticamente la derivada de una función en un punto dado; nos ayuda a encontrar la tasa de cambio en ese punto.
Función decreciente: Al aumentar el valor de X, el valor de Y disminuye.
Máximos y mínimos: Son puntos en donde la recta tangente a la función es horizontal y son solo relativos, ya que pueden existir valores más grandes o más pequeños en otros intervalos.
Derivada: Nos indica qué tan rápido y en qué dirección cambia una magnitud (crece o decrece).
Método de la primera derivada: Consiste en obtener la primera derivada, igualarla a cero y despejar x para hallar puntos críticos.
Primera derivada de y = 3x² + 2x: El resultado es 6x + 2.
Segunda derivada de y = 4x³ + 6x² + 2: El resultado es 24x + 12.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula la tasa de variación media?

Se evalúa la función en los dos extremos del intervalo y se divide la diferencia de valores entre la diferencia de los valores de x. En el ejemplo, (f(6) - f(2)) / (6 - 2) = 80 / 4 = 20.

¿Cómo se identifica un máximo o un mínimo de una función?

Se igualan a cero la primera derivada para hallar los puntos críticos y después se evalúa la segunda derivada en cada uno. Si es negativa hay un máximo y si es positiva hay un mínimo.

¿Qué es la tasa de variación instantánea?

Es el valor de la derivada de la función en un punto dado y mide la rapidez de cambio en ese punto.