¿Cuál es la fórmula de la derivada de un cociente?

Si f(x) = u / v, su derivada es f'(x) = (u'·v - v'·u) / v². El documento la presenta como fórmula base antes de los ejemplos.

¿Cuál es la derivada del seno de una función?

Si f(x) = sen u, entonces f'(x) = u' · cos u. Por ejemplo, la derivada de sen 4x es 4 · cos 4x.

¿Cuál es la derivada del coseno de una función?

Si f(x) = cos u, entonces f'(x) = -u' · sen u. Por ejemplo, la derivada de cos x es -sen x.

Ejercicios de derivadas: reglas polinómica, de la cadena, del cociente y trigonométricas

Resumen

El documento recoge ejercicios prácticos de derivación, organizados por reglas: derivada de polinomios, regla de la cadena, derivada del cociente y derivadas de las funciones seno y coseno. Cada apartado incluye fórmulas y ejemplos resueltos paso a paso. Los ejercicios están desarrollados de forma incompleta y contienen errores de notación, por lo que conviene verificarlos antes de usarlos como referencia.

Puntos clave

La derivada de un polinomio se obtiene aplicando la regla de las potencias a cada término.
Regla de la cadena: si f(x) = g(u(x)), entonces f'(x) = g'(u) · u'(x).
Regla del cociente: si f(x) = u / v, entonces f'(x) = (u'·v - v'·u) / v².
Derivada del seno: si f(x) = sen u, entonces f'(x) = u' · cos u.
Derivada del coseno: si f(x) = cos u, entonces f'(x) = -u' · sen u.
La derivada de la tangente y otras relaciones trigonométricas aparece solo esbozada en el documento.

Ponte a prueba

Introducción a las Derivadas

f(x) = 4x - 2x

f'(x) = 12x - 2

Regla de la Cadena

f(x) = (1 + 4x - 2x)

1. f'(x) = 5 (1 + 4x - 2x) · d(1 + 4x - 2x)
2. f'(x) = 5 (1 + 4x - 2x) · (4 - 4x) → f'(x) = 5 (4 - 4x) (1 + 4x - 2x)
3. f'(x) = (20 - 20x) (1 + 4x - 2x)

f(y) = (4 + 3y - 5)

f'(y) = 2(4 + 3y - 5y)^(-3) · d(4 + 3y - 5y)

f'(y) = 2(4 + 3y - 5y) · (6y - 15y)

f'(y) = 2 (6y - 15y) (4 + 3y - 5y)

Derivada del Cociente

Fórmula: f(x) = u / v → f'(x) = (u'·v - v'·u) / v²

Ejemplo de Cociente

f(x) = (4x - x + 1) / (2x + 1)

f'(x) = [(8x - 1)(2x + 1) - (2)(4x - x + 1)] / (2x + 1)²

f'(x) = (16x + 6x - 1 - (8x - 2x + 2)) / (4x + 4x + 1)

f'(x) = (8x + 8x - 3) / (4x + 4x + 1)

f(x) = 1 / (x - 4x - 4)

f'(x) = -2 (x - 4x - 4) · d(x - 4x - 4)

f'(x) = 2 (x - 4x - 4) · (2x - 4)

f'(x) = (-4x + 8) / (x - 4x - 4)

Derivada Trigonométrica

Derivada del Seno

f(x) = sen u → f'(x) = u' · cos u

1. f(x) = sen 4x → f'(x) = 4 · cos 4x
2. f(x) = sen x → f'(x) = 4x · cos x
3. f(x) = sen (8x + 3x) → f'(x) = 2(8x + 3x) · (16x + 3) · cos (8x + 3x)

Ejemplos Adicionales de Seno

1. f'(x) = 24x · sen 8x

2. f(x) = sen 12x → f'(x) = 12 · sen 12x

3. f(x) = sen (10x + 5x)

f(x) = 2 (10x + 5x)

f(x) = (20x + 10x)(30x + 5) · cos (10x + 5x)

f(x) = 600x + 20 + 300x + 50x · cos (10x + 5x)

f(x) = 600x + 300x + 20x + 50x · cos (10x + 5x)

Derivada del Coseno

f(x) = cos u → f'(x) = -u' · sen u

1. f(x) = cos x → f'(x) = - sen x
2. f(x) = cos (7 - 2x) → f'(x) = -(-2) · sen (7 - 2x) = 2 · sen (7 - 2x)
3. f(x) = cos (3x + x - 2) → f'(x) = (-6x + 1) · sen (3x + x - 2)

Ejemplo alternativo de Coseno:

f(x) = 1 / cos 5x = (cos 5x)

f'(x) = 1 · 2 · cos 5x · (-sen 5x)

f'(x) = -5 cos 5x · sen 5x

Derivada de la Tangente y Otras Relaciones

f(x) = sen 8x → f(x) = sen (8x) · 24x → (16x) · 24x = 384x