Ejercicios Resueltos de Álgebra: Funciones, Ecuaciones y Parábolas

1. Verdadero y Falso

• a) El sistema de ecuaciones es un conjunto: (V)
• b) Las incógnitas son letras: (V)
• c) Un sistema de ecuaciones lineal: (F)
• d) La solución de un sistema de ecuaciones: (V)

2. Composición y Evaluación de Funciones

Dadas las funciones f(x) = 2x² + 1 y g(x) = x + 1:

• (f°g)(x) = 2(x + 1)² + 1 = 2(x² + 2x + 1) + 1 = 2x² + 4x + 2 + 1 = 2x² + 4x + 3
• Evaluación: (f°g)(0) = 2(0)² + 4(0) + 3 = 3
• (g°f)(x) = 2x² + 1 + 1 = 2x² + 2
• Evaluación: (g°f)(-1) = 2(-1)² + 2 = 2 + 2 = 4

3. Sistemas de Ecuaciones: Método de Eliminación

Resolver el sistema:

• 4x - 2y = 18
• 3x + y = 26

Multiplicando la segunda ecuación por 2: 6x + 2y = 52. Sumando ambas ecuaciones: 10x = 70, por lo tanto, x = 7.

Sustituyendo en la primera ecuación: 4(7) - 2y = 18 → 28 - 2y = 18 → -2y = -10 → y = 5.

4. Clasificación de Sistemas de Ecuaciones

• 1.1 Un sistema de ecuaciones lineales es determinado: a) Solución única.
• 1.2 El sistema de ecuaciones lineales que poseen: c) Compatibles indeterminados.
• 1.3 La tercera clase de sistemas: a) Inconsistentes.
• 1.4 Al ser el método de sustitución muy flexible: a) Ecuaciones.

5. Operaciones con Funciones

Dadas f(x) = 2x - 3 y g(x) = -x - 3:

• (f - g)(2): (2x - 3) - (-x - 3) = 3x. Entonces, 3(2) = 6.
• (f · g)(1): (2x - 3)(-x - 3) = -2x² - 6x + 3x + 9 = -2x² - 3x + 9. Evaluando en 1: -2(1)² - 3(1) + 9 = 4.

6. Función Inversa

Para f(x) = 3x + 2:

y = 3x + 2 → x = 3y + 2 → 3y = x - 2 → y = (x - 2) / 3

7. Vértice de la Parábola

Dada y = 2x² - 8x + 6 (a=2, b=-8, c=6):

• Vx = -b / 2a = 8 / 4 = 2
• Vy = 2(2)² - 8(2) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2
• Resultado: V(2, -2)

8. Ecuación de la Recta

A partir de la gráfica, se determina la ecuación: y = 2x + 1.

9. Composición de Funciones

Dadas f(x) = x - 1 y g(x) = 3x + 3:

(f°g)(x) = (3x + 3) - 1 = 3x + 2

10. Suma de Funciones Reales

Dadas f(x) = -x² + 2 y g(x) = 2x² - 1:

(f + g)(x) = (-x² + 2) + (2x² - 1) = x² + 1

Evaluando en -1: (-1)² + 1 = 1 + 1 = 2

11. Relación de Gráficos

Correspondencia: 1b, 2c, 3d, 4a