Ejercicios resueltos de inferencia estadística: medias y proporciones

1. Estimación del Tiempo de Ensamblaje

Una empresa afirma que el tiempo promedio de ensamblaje de un producto es de 50 minutos. Se toma una muestra de n = 36 trabajadores y se obtiene una media muestral (x̄) de 47 minutos. Se sabe que la desviación estándar poblacional (σ) es de 12 minutos.

• a) Construir un intervalo de confianza del 95% para la media.
• b) ¿El valor de 50 minutos es razonable según el intervalo?

Datos del Problema:

n = 36, x̄ = 47, σ = 12, 95% de confianza → Z = 1.96

Fórmula:

Cálculo:

Resultado:

2. Prueba de Hipótesis para Calificaciones Escolares

Un profesor afirma que el promedio de calificaciones en su clase es 80. Una muestra de 25 estudiantes arroja una media de 76 y una desviación estándar (s) de 8.

• c) Plantear hipótesis bilateral.
• d) Realizar la prueba con un nivel de significancia α = 0.05.
• e) Tomar una decisión estadística.
• f) Interpretar el resultado.

Datos:

n = 25, x̄ = 76, s = 8, μ₀ = 80

Planteamiento de Hipótesis:

H₀: μ = 80 (Hipótesis Nula)
H₁: μ ≠ 80 (Hipótesis Alternativa)

Fórmula:

Cálculo:

Grados de libertad (gl) = 24 → t crítico ≈ ±2.064

✔️ Decisión:

Dado que -2.5 < -2.064 → Se rechaza H₀.

✔️ Interpretación:

Existe evidencia suficiente para afirmar que el promedio NO es 80.

3. Intervalo de Confianza para Proporciones

En una encuesta, 120 de 200 personas prefieren comprar en línea. Construir un intervalo de confianza del 95% para la proporción poblacional.

Datos:

p̂ = 120/200 = 0.6

Fórmula y Desarrollo:

Resultado:

4. Validación de Proporción de Aprobación

Se afirma que el 60% de los estudiantes aprueba una materia. En una muestra de 150 estudiantes, 78 aprobaron. Plantear hipótesis y realizar la prueba con α = 0.05 para determinar si la afirmación es válida.

Datos:

p̂ = 78/150 = 0.52, p₀ = 0.60

Fórmula:

Z crítico = ±1.96

✔️ Decisión:

Rechazar H₀.

✔️ Conclusión:

La afirmación de que el 60% aprueba NO es válida.

5. Determinación del Tamaño Mínimo de la Muestra

Una empresa desea estimar la media del ingreso mensual de sus empleados con un error máximo (E) de 1000 pesos y un nivel de confianza del 95%. Se sabe que la desviación estándar es de 5000 pesos.

Datos:

E = 1000, σ = 5000, Z = 1.96

Fórmula:

✔️ Resultado:

El tamaño mínimo requerido es n = 97.

6. Comparación de Medias: Tiempo de Producción

Se desea comparar el tiempo promedio de producción de dos máquinas distintas:

• Máquina A: n₁ = 40, media = 120 min, s₁ = 15
• Máquina B: n₂ = 35, media = 110 min, s₂ = 20

1. a) Plantear hipótesis bilateral.
2. b) Realizar la prueba con α = 0.05.
3. c) Determinar si existe diferencia significativa.

Datos y Fórmulas:

A: 120, s=15, n=40
B: 110, s=20, n=35

Z crítico = 1.96

✔️ Decisión:

Rechazar H₀.

✔️ Conclusión:

Sí existe una diferencia significativa entre los tiempos de producción de ambas máquinas.

7. Diferencia de Medias en Métodos de Enseñanza

Dos métodos de enseñanza son aplicados a grupos de estudiantes:

• Método 1: n₁ = 30, media = 85, s₁ = 10
• Método 2: n₂ = 30, media = 78, s₂ = 12

Construir un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias (μ₁ − μ₂).

Datos:

Diferencia observada: 85 - 78 = 7

Resultado:

8. Comparación de Proporciones de Satisfacción

Se comparan dos marcas respecto a la satisfacción del cliente:

• Marca A: 90 de 150 clientes satisfechos.
• Marca B: 75 de 140 clientes satisfechos.

Construir un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de proporciones (p₁ − p₂).

Datos:

p₁ = 0.6
p₂ = 0.536

Resultado aproximado:

9. Efectividad de Campaña Publicitaria

Una empresa afirma que su nueva campaña publicitaria aumentó la proporción de clientes que compran.

• Antes: 60 de 200 compraban (p₁ = 0.3).
• Después: 90 de 220 compran (p₂ = 0.409).

1. a) Plantear hipótesis unilateral.
2. b) Realizar la prueba con α = 0.05.
3. c) Determinar si la campaña fue efectiva.

Planteamiento:

H₀: p₁ = p₂
H₁: p₂ > p₁

Valor calculado: Z ≈ 2.33
Z crítico = 1.645

✔️ Decisión:

Rechazar H₀.

✔️ Conclusión:

La campaña SÍ fue efectiva para aumentar la proporción de compradores.