Ejercicios Resueltos de Funciones Exponenciales y Logarítmicas

1. Interés compuesto

María deposita $4.500.000 en una cuenta con un interés anual del 3,2%.

a) ¿Por qué la función que modela la situación es exponencial?

Porque el dinero crece multiplicándose cada año por el mismo porcentaje; es decir, cada año el capital se multiplica por un factor de 1,032.

b) Escriba la función que da el monto acumulado después de t años.

f(t) = 4.500.000 · (1,032)^t

c) ¿Cuánto dinero tendrá después de 6 años?

f(6) = 4.500.000 · (1,032)⁶

Cálculo de la potencia: 1,032⁶ ≈ 1,1962

f(6) = 4.500.000 · 1,1962 ≈ 5.383.000

2. Duplicación de población

La población de un país se modela con la siguiente función:

P(t) = 1,2 · e^0,03t

Donde P(t) está expresado en millones.

a) ¿Cuánto vale la población inicial?

P(0) = 1,2 · e⁰ = 1,2

La población inicial es de 1,2 millones de habitantes.

b) ¿Cuándo la población llegará a 2 millones?

Planteamiento de la ecuación:
1,2 · e^0,03t = 2

• e^0,03t = 2 / 1,2 = 1,6667
• 0,03t = ln(1,6667)
• ln(1,6667) ≈ 0,5108
• t = 0,5108 / 0,03 ≈ 17,03

Respuesta: La población llegará a 2 millones en aproximadamente 17 años.

3. Atenuación de luz

La intensidad de la luz a x metros bajo el agua se define por:

I(x) = 12 · e^-0,12x

a) Calcular la intensidad a 9 metros.

I(9) = 12 · e^{-0,12 · 9} = 12 · e^-1,08

Uso de calculadora:
e^-1,08 ≈ 0,3409

I(9) ≈ 12 · 0,3409 ≈ 4,09

👉 Respuesta: A 9 metros de profundidad, la intensidad es de aproximadamente 4,09 lúmenes.

b) ¿A qué profundidad la intensidad baja a 3 lúmenes?

Planteamiento:
12 · e^-0,12x = 3

Pasos para resolver:

1. Divido por 12: e^-0,12x = 3 / 12 = 0,25
2. Aplico logaritmo natural (ln): -0,12x = ln(0,25)
3. Valor de ln(0,25): ln(0,25) ≈ -1,386
4. Despejo x: x = -1,386 / -0,12 ≈ 11,55

👉 Respuesta: La intensidad llega a 3 lúmenes a una profundidad de aproximadamente 11,55 metros.

4. Ecuaciones exponenciales

Resolver los siguientes ejercicios usando logaritmos:

a) 0,52^x = 0,004

Aplicando logaritmos:
x = ln(0,004) / ln(0,52)

Con calculadora:

• ln(0,004) ≈ -5,521
• ln(0,52) ≈ -0,653
• x ≈ -5,521 / -0,653 ≈ 8,46

👉 Respuesta: x ≈ 8,46.

b) 400 + e^5x = 2000

Pasos para resolver:

1. Aíslo el exponencial: e^5x = 2000 - 400 = 1600
2. Aplico logaritmo natural (ln): 5x = ln(1600)
3. Valor de ln(1600): ln(1600) ≈ 7,378
4. Despejo x: x = 7,378 / 5 ≈ 1,48

👉 Respuesta: x ≈ 1,48.

✅ 5. Crecimiento de bacterias

Una colonia de bacterias crece según la función:

N(t) = 500 · 2^t

a) ¿Cuántas bacterias habrá en 4 horas?

N(4) = 500 · 2⁴ = 500 · 16 = 8.000

Respuesta: En 4 horas habrá 8.000 bacterias.

b) ¿Cuándo la colonia alcanzará 16.000 bacterias?

500 · 2^t = 16.000

Pasos para resolver:

1. Divido por 500: 2^t = 16.000 / 500 = 32
2. Relación de potencias: Sabemos que 32 = 2⁵, por lo tanto t = 5.

Respuesta: La colonia llegará a 16.000 bacterias en 5 horas.