¿Por qué el interés compuesto es una función exponencial?

Porque el capital crece multiplicándose cada año por el mismo factor (1,032 en el ejemplo), de modo que el monto después de t años es 4.500.000 · (1,032)^t.

¿Cómo se despeja t en una ecuación exponencial como 1,2 · e^(0,03t) = 2?

Se aísla la exponencial dividiendo entre 1,2, se aplica logaritmo natural a ambos lados y se divide entre 0,03; el resultado es aproximadamente t = 17,03.

¿Cuántas bacterias habrá en 4 horas si la colonia sigue N(t) = 500 · 2^t?

N(4) = 500 · 2^4 = 500 · 16 = 8.000 bacterias.

Ejercicios resueltos de funciones exponenciales y logarítmicas: interés, población, luz y bacterias

Resumen

Colección de ejercicios resueltos sobre funciones exponenciales y logarítmicas aplicadas a situaciones reales: interés compuesto, crecimiento de población, atenuación de la luz en el agua y crecimiento de bacterias. Cada problema muestra cómo plantear la función, calcular valores y despejar incógnitas mediante logaritmos.

Puntos clave

La función exponencial f(t) = C · a^t modela crecimientos o decrecimientos en los que la cantidad se multiplica por un mismo factor en cada periodo.
En el interés compuesto, el monto tras t años es f(t) = capital · (1 + tasa)^t.
Para despejar el exponente de una ecuación exponencial se aplica logaritmo natural: si a^x = b, entonces x = ln(b)/ln(a).
La función P(t) = P0 · e^(kt) describe crecimiento continuo; P(0) = P0 es la población inicial.
En la atenuación de la luz bajo el agua, I(x) = I0 · e^(-kx) disminuye al aumentar la profundidad x.
En el crecimiento de bacterias N(t) = N0 · 2^t, la población se duplica en cada unidad de tiempo, y la potencia de 2 permite identificar el tiempo necesario.

Ponte a prueba

1. Interés compuesto

María deposita $4.500.000 en una cuenta con un interés anual del 3,2%.

a) ¿Por qué la función que modela la situación es exponencial?

Porque el dinero crece multiplicándose cada año por el mismo porcentaje; es decir, cada año el capital se multiplica por un factor de 1,032.

b) Escriba la función que da el monto acumulado después de t años.

f(t) = 4.500.000 · (1,032)^t

c) ¿Cuánto dinero tendrá después de 6 años?

f(6) = 4.500.000 · (1,032)⁶

Cálculo de la potencia: 1,032⁶ ≈ 1,1962

f(6) = 4.500.000 · 1,1962 ≈ 5.383.000

2. Duplicación de población

La población de un país se modela con la siguiente función:

P(t) = 1,2 · e^0,03t

Donde P(t) está expresado en millones.

a) ¿Cuánto vale la población inicial?

P(0) = 1,2 · e⁰ = 1,2

La población inicial es de 1,2 millones de habitantes.

b) ¿Cuándo la población llegará a 2 millones?

Planteamiento de la ecuación:
1,2 · e^0,03t = 2

e^0,03t = 2 / 1,2 = 1,6667
0,03t = ln(1,6667)
ln(1,6667) ≈ 0,5108
t = 0,5108 / 0,03 ≈ 17,03

Respuesta: La población llegará a 2 millones en aproximadamente 17 años.

3. Atenuación de luz

La intensidad de la luz a x metros bajo el agua se define por:

I(x) = 12 · e^-0,12x

a) Calcular la intensidad a 9 metros.

I(9) = 12 · e^{-0,12 · 9} = 12 · e^-1,08

Uso de calculadora:
e^-1,08 ≈ 0,3409

I(9) ≈ 12 · 0,3409 ≈ 4,09

👉 Respuesta: A 9 metros de profundidad, la intensidad es de aproximadamente 4,09 lúmenes.

b) ¿A qué profundidad la intensidad baja a 3 lúmenes?

Planteamiento:
12 · e^-0,12x = 3

Pasos para resolver:

Divido por 12: e^-0,12x = 3 / 12 = 0,25
Aplico logaritmo natural (ln): -0,12x = ln(0,25)
Valor de ln(0,25): ln(0,25) ≈ -1,386
Despejo x: x = -1,386 / -0,12 ≈ 11,55

👉 Respuesta: La intensidad llega a 3 lúmenes a una profundidad de aproximadamente 11,55 metros.

4. Ecuaciones exponenciales

Resolver los siguientes ejercicios usando logaritmos:

a) 0,52^x = 0,004

Aplicando logaritmos:
x = ln(0,004) / ln(0,52)

Con calculadora:

ln(0,004) ≈ -5,521
ln(0,52) ≈ -0,653
x ≈ -5,521 / -0,653 ≈ 8,46

👉 Respuesta: x ≈ 8,46.

b) 400 + e^5x = 2000

Pasos para resolver:

Aíslo el exponencial: e^5x = 2000 - 400 = 1600
Aplico logaritmo natural (ln): 5x = ln(1600)
Valor de ln(1600): ln(1600) ≈ 7,378
Despejo x: x = 7,378 / 5 ≈ 1,48

👉 Respuesta: x ≈ 1,48.

✅ 5. Crecimiento de bacterias

Una colonia de bacterias crece según la función:

N(t) = 500 · 2^t

a) ¿Cuántas bacterias habrá en 4 horas?

N(4) = 500 · 2⁴ = 500 · 16 = 8.000

Respuesta: En 4 horas habrá 8.000 bacterias.

b) ¿Cuándo la colonia alcanzará 16.000 bacterias?

500 · 2^t = 16.000

Pasos para resolver:

Divido por 500: 2^t = 16.000 / 500 = 32
Relación de potencias: Sabemos que 32 = 2⁵, por lo tanto t = 5.

Respuesta: La colonia llegará a 16.000 bacterias en 5 horas.

Ejercicios resueltos de funciones exponenciales y logarítmicas: interés, población, luz y bacterias

Resumen

Puntos clave

1. Interés compuesto

a) ¿Por qué la función que modela la situación es exponencial?

b) Escriba la función que da el monto acumulado después de t años.

c) ¿Cuánto dinero tendrá después de 6 años?

2. Duplicación de población

a) ¿Cuánto vale la población inicial?

b) ¿Cuándo la población llegará a 2 millones?

3. Atenuación de luz

a) Calcular la intensidad a 9 metros.

b) ¿A qué profundidad la intensidad baja a 3 lúmenes?

Pasos para resolver:

4. Ecuaciones exponenciales

a) 0,52^x = 0,004

b) 400 + e^5x = 2000

Pasos para resolver:

✅ 5. Crecimiento de bacterias

a) ¿Cuántas bacterias habrá en 4 horas?

b) ¿Cuándo la colonia alcanzará 16.000 bacterias?

Pasos para resolver:

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Preguntas frecuentes

¿Por qué el interés compuesto es una función exponencial?

¿Cómo se despeja t en una ecuación exponencial como 1,2 · e^(0,03t) = 2?

¿Cuántas bacterias habrá en 4 horas si la colonia sigue N(t) = 500 · 2^t?

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Tarjetas de repaso

Test

Resumen

Puntos clave

1. Interés compuesto

a) ¿Por qué la función que modela la situación es exponencial?

b) Escriba la función que da el monto acumulado después de t años.

c) ¿Cuánto dinero tendrá después de 6 años?

2. Duplicación de población

a) ¿Cuánto vale la población inicial?

b) ¿Cuándo la población llegará a 2 millones?

3. Atenuación de luz

a) Calcular la intensidad a 9 metros.

b) ¿A qué profundidad la intensidad baja a 3 lúmenes?

Pasos para resolver:

4. Ecuaciones exponenciales

a) 0,52x = 0,004

b) 400 + e5x = 2000

Pasos para resolver:

✅ 5. Crecimiento de bacterias

a) ¿Cuántas bacterias habrá en 4 horas?

b) ¿Cuándo la colonia alcanzará 16.000 bacterias?

Pasos para resolver:

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Preguntas frecuentes

¿Por qué el interés compuesto es una función exponencial?

¿Cómo se despeja t en una ecuación exponencial como 1,2 · e^(0,03t) = 2?

¿Cuántas bacterias habrá en 4 horas si la colonia sigue N(t) = 500 · 2^t?

Ponte a prueba

Tarjetas de repaso

Test

a) 0,52^x = 0,004

b) 400 + e^5x = 2000