Ejercicios Resueltos de Rectas, Funciones Cuadráticas y Estadística

Ecuaciones de las rectas

Rectas a partir de puntos

Para la recta que sube (corte en y=1, pasa por (0,1) y (2,3)):

• Pendiente m = (3-1)/(2-0) = 2/2 = 1
• Ecuación: y = x + 1

Para la recta que baja (corte en y=2, pasa por (0,2) y (2,1)):

• Pendiente m = (1-2)/(2-0) = -1/2
• Ecuación: y = -1/2x + 2

Recta punto-pendiente

Fórmula: y - y₁ = m(x - x₁)

a) m=3, punto (2, -2):

• y - (-2) = 3(x - 2)
• y + 2 = 3x - 6
• y = 3x - 8

b) Puntos (-1, 3) y (-3, -2):

• Calculamos pendiente: m = (-2 - 3) / (-3 - (-1)) = -5 / -2 = 5/2
• Usamos punto (-1, 3):
• y - 3 = 5/2(x - (-1))
• y - 3 = 5/2x + 5/2
• y = 5/2x + 5/2 + 6/2
• y = 5/2x + 11/2

Representación de funciones cuadráticas

Función: f(x) = x² + x - 6

• Vértice (xᵥ = -b/2a):
  • xᵥ = -1 / (2*1) = -0.5
  • f(-0.5) = (-0.5)² + (-0.5) - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25
  • Vértice: (-0.5, -6.25)
• Corte eje y (x=0): f(0) = -6. Punto (0, -6)
• Corte eje x (y=0): x² + x - 6 = 0
  • x = (-1 ± √1² - 4(1)(-6)) / 2 = (-1 ± √25) / 2
  • x₁ = 4/2 = 2 ⇒ (2,0)
  • x₂ = -6/2 = -3 ⇒ (-3,0)

Asociar gráficas

• a) y = -3x² + 3x: Gráfica 3. Es negativa (abre hacia abajo) y corta en x=0 y x=1.
• b) y = -x² + 6x - 9: Gráfica 2. Es negativa y tiene un solo punto de corte en x=3 (es un cuadrado perfecto -(x-3)²).
• c) y = x² + x - 2: Gráfica 4. Es positiva (abre hacia arriba), corta en x=1 y x=-2.
• d) y = 1/2x² + x + 3/2: Gráfica 1. Es positiva y no corta al eje x.

Estadística

a) Tipo de variable: Cuantitativa discreta.

b) Tabla de frecuencias:

c) Cálculos:

• Media (x̄ = Σ xᵢfᵢ / N):
  • x̄ = (0*1 + 1*3 + 2*5 + 3*12 + 4*10 + 5*9) / 40
  • x̄ = (0 + 3 + 10 + 36 + 40 + 45) / 40 = 134 / 40 = 3.35
• Moda: 3 (es el valor con mayor frecuencia).
• Rango: 5 - 0 = 5.

d) Desviación típica (σ = √((Σ xᵢ²fᵢ / N) - x̄²)):

• Σ xᵢ²fᵢ = 0²*1 + 1²*3 + 2²*5 + 3²*12 + 4²*10 + 5²*9 = 0 + 3 + 20 + 108 + 160 + 225 = 516
• σ = √(516 / 40 - 3.35²)
• σ = √(12.9 - 11.2225) = √1.6775 ≈ 1.295