Ejercicios Resueltos de Sistemas de Ecuaciones Lineales y Álgebra
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Problema 1: Suma y diferencia de dos números
¡Los dos tercios de la suma de dos números son 74 y los tres quintos de su diferencia son 9!
2(x + y) / 3 = 74 → 2(x + y) = 222 → x + y = 111
3(x - y) / 5 = 9 → 3(x - y) = 45 → x - y = 15
- x + y = 111
- x - y = 15
Sustituyendo x: 63 + y = 111 → y = 111 - 63 → y = 48
Problema 2: Relación entre un número mayor y uno menor
Si a 5 veces el mayor de dos números se añade 7 veces el menor, la suma es 316; y si a 9 veces el menor se resta el cuádruplo del mayor, la diferencia es 83. Hallar tales números.
x = mayor | y = menor
1) 5x + 7y = 316
2) -4x + 9y = 83
Multiplicamos la primera por 4 y la segunda por 5:
4(5x + 7y = 316) → 20x + 28y = 1264
5(-4x + 9y = 83) → -20x + 45y = 415
Sumamos los resultados:
73y = 1679 → y = 1679 / 73 → y = 23
-4x + 9(23) = 83
-4x + 207 = 83
-4x = 83 - 207
-4x = -124 → x = -124 / -4 → x = 31
Problema 3: Cálculo de edades de A y B
La edad de A excede en 13 años a la de B. El duplo de la edad de B excede en 29 años a la edad de A. Hallar ambas edades.
1) a - 13 = b
2) 2b = a + 29
2(a - 13) = a + 29
2a - 26 = a + 29
2a - a = 29 + 26
a = 55
55 - 13 = b
42 = b
Problema 4: Edades con fracciones
Los 3/7 de la edad de A aumentados en los 3/8 de la edad de B suman 15 años, y los 2/3 de la edad de A disminuidos en los 3/4 de la de B equivalen a 2 años. Hallar ambas edades.
1) 3/7x + 3/8y = 15
2) 2/3x - 3/4y = 2
Para la ec. 1 (mcm 56): 24x + 21y = 840 → 8x + 7y = 280
Para la ec. 2 (mcm 12): 8x - 9y = 24
8x + 7y = 280
- (8x - 9y = 24) → -8x + 9y = -24
Sumando: 16y = 256 → y = 16
Sustituyendo y: 8x - 9(16) = 24
8x - 144 = 24
8x = 168 → x = 21
Problema 5: Hallar una fracción
Si a los dos términos de una fracción se añade 3, el valor de la fracción es 1/2; y si a los dos términos se resta 1, el valor de la fracción es 1/3. Hallar la fracción.
1) (x + 3) / (y + 3) = 1/2 → 2(x + 3) = y + 3 → 2x + 6 = y + 3 → 2x + 3 = y
2) (x - 1) / (y - 1) = 1/3 → 3(x - 1) = y - 1 → 3x - 3 = y - 1 → 3x - 2 = y
3x - 2 = 2x + 3
3x - 2x = 3 + 2
x = 5
Sustituyendo x: 2(5) + 3 = y → y = 13
La fracción es 5/13.
Problema 6: División, cociente y residuo
Si el mayor de dos números se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo 9; y si 3 veces el menor se divide por el mayor, el cociente es 1 y el residuo 14. Hallar los números.
1) x = 2y + 9 → -x + 2y = -9
2) 3y = x + 14 → x - 3y = -14
Sumando las ecuaciones:
-y = -23 → y = 23
Sustituyendo y:
x = 2(23) + 9 → x = 46 + 9 → x = 55
Problema 7: Inversión de cifras en un número
La suma de la cifra de las decenas y la cifra de las unidades de un número es 15, y si al número le restamos 9, las cifras se invierten.
1) x + y = 15
2) (10x + y) - 9 = 10y + x → 9x - 9y = 9 → x - y = 1
x + y = 15
x - y = 1
Sumando: 2x = 16 → x = 8
Sustituyendo x: 8 + y = 15 → y = 7
El número es 87.