Enfoques de Aprendizaje Matemático: Empirismo, Constructivismo y Situaciones Didácticas en Educación Artística

Enfoques y teorías del aprendizaje

Enfoque empirista: el aprendizaje es único, el alumno no es capaz de construir conocimiento, y aprende exclusivamente mediante la explicación del docente. El error está mal visto y se relaciona con el fracaso.

Enfoque constructivista: el aprendizaje se apoya en la acción; el conocimiento pasa por estados de equilibrio y desequilibrio. Los conocimientos previos no se dudan, y el aprendizaje se produce por adaptación al medio.

Conceptos clave de la teoría de situaciones didácticas

• Ostensivo: definición de conceptos generales mostrando ejemplos particulares del concepto.
• Paradigma constructivista: reformulación y reestructuración de conceptos previos ya adquiridos; la adaptación a nuevas circunstancias y situaciones problemáticas da lugar a la construcción de nuevos conocimientos.
• Situación didáctica: tareas, actividades o prácticas diseñadas intencionadamente por un sujeto para enseñar un concepto, noción u objeto de conocimiento.
• Situación no didáctica: no organiza el aprendizaje; el problema aparece de forma natural y no hay docente ni alumno.
• Situación a-didáctica: según T. Brousseau, es un juego con un jugador que se desenvuelve en un medio con una serie de características.
• Estrategia base: primera estrategia que el jugador practica para resolver el problema; se asocia a conocimientos previos, sin los cuales no comprende el juego.
• Variables didácticas: elementos de la situación didáctica que pueden modificarse para influir en la estrategia de resolución del estudiante; si el profesor las modifica, provoca un cambio de estrategia.
• Condiciones de la situación a-didáctica: entrever la respuesta al problema, que el procedimiento base se muestre insuficiente, validación de la estrategia, incertidumbre del alumno, retroacciones, juego repetible y paso de la estrategia base a la óptima.
• Situación fundamental: conjunto de situaciones a-didácticas que persiguen que el alumno adquiera conocimiento.

Errores y obstáculos

Tipos de errores: de conocimiento, de saber hacer, de utilización, de lógica o de razonamiento.

Obstáculo: los errores producidos por conocimientos que en un ámbito eran válidos y ahora son insuficientes.

Características: conocimiento que produce respuestas correctas en una situación o problema, pero que resulta insuficiente y genera respuestas erróneas; rechaza provisionalmente el aprendizaje de nuevos conocimientos.

Tipos de obstáculos:

• Ontogenéticos: desarrollo psicogenético del niño.
• Culturales: por ejemplo, escribir de izquierda a derecha.
• Didácticos: descritos por el profesor o el sistema educativo.
• Epistemológicos: construidos en el conocimiento.

Ejercicios y problemas

Ejercicio: actividad de aplicación mecánica de una regla o receta, sin una actividad intensa del pensamiento para su resolución. Características: se ve claramente qué hay que hacer, se aplica mecánicamente, requiere poco tiempo y no genera vínculo emocional.

Problema: cuestión que no resulta evidente y que pone al alumno ante una situación nueva. Características: supone un reto, busca entre conocimientos y experiencias, no se resuelve automáticamente, desarrolla competencias básicas, requiere tiempo, provoca interés, su resolución resulta agradable e implica emoción.

Tipos de valores de los problemas

• Instrumental: herramienta que permite aplicar conceptos, procesos y técnicas adquiridos previamente.
• Funcional: elemento útil que facilita la comprensión y completa, detalla y efectúa.
• Formativo: fundamental para el desarrollo de capacidades y habilidades: capacidad de extraer información, analizar, tratar, razonar, analizar a través de la síntesis y establecer nexos; flexibilidad y desarrollo de un pensamiento flexible y fluido; esfuerzo y concentración; actitud, aptitud y creatividad.

Problemas de estructura

Problemas estructurados: especifican la incógnita, ofrecen la información necesaria, tienen una única solución y existe un algoritmo que permite encontrarla.

• Consistentes: aparecen en el mismo orden que corresponde a la operación. Pregunta al final y pregunta por la cantidad final.
• Inconsistentes: orden inverso al de la operación correspondiente; pregunta al final o no, y pregunta por la cantidad inicial o por la transformación.

Problemas de estructura aditiva

Se basan en dos conceptos:

• Unitario: una colección de elementos a la que se añaden o quitan elementos de una colección inicial.
• Binario: dos conjuntos que se comparan, se igualan o se combinan.

Clasificación:

• A. Situaciones de cambio: cantidad inicial más o menos una transformación, quedando una cantidad final. Cambio creciente: cantidad inicial +. Cambio decreciente: cantidad inicial −.
• B. Situaciones de combinación: establecen una relación entre un conjunto, sus partes y dos subconjuntos; no hay cambio en el tiempo.
• C. Comparación: se comparan dos cantidades; una es la referencia y otra la comparada, y la tercera es la diferencia.
• D. Igualación: dos conjuntos con el mismo número de elementos. Aumento: a la pequeña se le suma. Disminución: a la grande se le resta.

Situaciones de multiplicación

• Multiplicación: suma reiterada y producto cartesiano (número total de combinaciones posibles con dos colecciones de objetos).
• División: resta reiterada y división inversa de la multiplicación: basta con encontrar el número que multiplicado por el divisor dé el dividendo. Ej.: 36 / 6 = 6 × 6. Reparto, en dos tipos: partitiva y medida: calcular el número de grupos conociendo los elementos a repartir y la cantidad por grupo.

Problemas de multiplicación:

• Proporción simple: dos tipos: de grupos iguales y de tasa; se relacionan dos cantidades y se establece una relación de proporcionalidad.
• Comparación: de aumento, de disminución y producto cartesiano, donde se combinan dos cantidades. Dos tipos: combinación y producto de medidas.

Problemas no estructurados

Presentan una incógnita no especificada, información insuficiente, varias formas de resolución no algorítmicas y varias soluciones. Tipos: manipulativos (mosaico), ligados a juegos (pañuelo de +) y modelización (situaciones del mundo real, como precios y producción).

Etapas de resolución de problemas

Comprender el problema, concebir un plan, ejecutarlo y mirar atrás.

Dificultades de comprensión del enunciado: complejidad del lenguaje, vocabulario, dificultad para pasar del lenguaje natural al matemático, dificultad con signos y símbolos, y dificultad para relacionar las matemáticas con el contexto del problema.

Estrategias de comprensión del enunciado: manipulación, dibujo, dramatización, reelaboración escrita y explicación del problema.

El juego en el aprendizaje

Juego: actividad lúdica, entretenida y recreativa cuya finalidad es divertirse, sea física o mental; tiene reglas claras, objetivos y determina cuándo acaba.

Etapas del juego según Piaget:

• Funcional: exploración del mundo (2 años).
• Simbólico: evoca objetos pudiendo representarlos.
• De reglas: a partir de los 4 años.

Ventajas: genera interés, atiende necesidades individuales, refuerza la autonomía, estimula el desarrollo de la autoestima, ayuda a descubrir, comprender y afianzar aprendizajes desde el constructivismo.

Teoría de situaciones de Brousseau (juego): procedimiento inicial, que se revela insuficiente o ineficaz; validación, incertidumbre, retroacciones, repetibilidad y paso de la estrategia base a la óptima.

Características del juego: no conocerse el resultado de antemano, autonomía, medio de comprobación, varios caminos posibles y evaluación del conocimiento.

Evaluación y discalculia

Evaluación:

• Extrínseca: por el entorno y la situación de aprendizaje.
• Intrínseca: por trastornos o lesiones.

Discalculia: dificultad para aprender matemáticas. Tres tipos: verbal (comprensión del concepto), practognósica (manipulación de objetos) y léxica (no hay habilidad con símbolos matemáticos o números).

Sentido numérico y conteo

Contextos del número: secuencia numérica, conteo, cardinal, ordinal, medida (número de veces que se reitera una unidad en una cantidad), etiqueta (autobús 112) y palabras numéricas con uso simbólico.

Principios del conteo

1. Correspondencia uno a uno: dos tipos, partición y etiquetado; se hacen a la vez.
2. Orden estable: lista de palabras repetible y formada por etiquetas únicas. Cinco tipos: hilera (se emite ordenadamente), lista irrompible (reflexión y diferencia), cadena fragmentable (inicio de la secuencia desde cualquier número), cadena numerable (mayor grado de abstracción, contar como unidad) y cadena bidireccional.
3. Cardinalidad: uso para cuantificar; la última etiqueta empleada es la cantidad.
4. Principio de abstracción: el conteo se aplica a objetos reales o imaginarios.
5. Principio de relevancia del orden: el orden en que se eligen los elementos es irrelevante.

Sistema de numeración

Conjunto finito de signos y reglas para representar números. Tipos: simple, de agrupamiento, multiplicativo, aditivo, multiplicativo y posicional.

Material didáctico

• Regletas Cuisenaire: 10 barras que representan 10 números. Rojo: 2, 4, 8. Azul: 3, 6, 9. Amarillo: 5, 10. Blanco: 1. Negro: 7.
• Bloques base 10: sistema decimal hasta el millar, con cuatro piezas: cubo grande (M), placa (C), barra (D) y cubito (U).
• Ábaco: bastidores con barras paralelas horizontales o verticales con 10 bolas para representar cantidades, sumas y restas.

Estrategias de modelización y conteo

1. Directa: juntar todo, quitar, añadir hasta, quitar hasta, correspondencia uno a uno, ensayo y error.
2. Conteo: a partir del primero o del número mayor, contar hasta, contar hacia atrás, contar hacia atrás hasta.
3. Hechos numéricos: combinación de números de un pequeño conjunto básico memorizado.

Estrategias de conteo: cambio creciente, cambio decreciente con cantidad inicial desconocida, comparación y cambio decreciente con cantidad final desconocida.

Problemas no simétricos y simétricos

No simétricos: se resuelven con agrupamiento y reparto; los números tienen referentes específicos y no se intercambian. Agrupamiento: agrupo y cuento. Reparto: voy repartiendo hasta obtener grupos iguales.

Simétricos: problemas de factores o papel equivalente. Tipos: medidas, combinación y matrices.

Estrategias de conteo multiplicativo: conteo a saltos y hechos numéricos (cuando se descubre que multiplicar por 10 es añadir solo un 0).

Fracciones

Características epistemológicas:

• Parte-todo: todo dividido en partes congruentes.
• Medida: la recta real sirve para representar e interpretar fracciones.
• Cociente: división de un número natural entre otro.
• Operador: primero se divide por el denominador y después se multiplica por el numerador.
• Razón: indica la comparación entre dos cantidades de una magnitud.

Cálculo y estimación

• Cálculo rápido: combinaciones básicas de suma y multiplicación.
• Cálculo mental: recuperación de combinaciones numéricas básicas.
• Cálculo pensado: estrategias necesarias y reflexión personal que manipula los números implicados para facilitar el cálculo.
• Cálculo aproximado: búsqueda de un valor suficientemente próximo para una situación concreta.
• Estimación: juicio o valoración de una operación numérica o de una medida de cantidad, en función de las circunstancias individuales de quien la emite.

Tipos de estimación:

• Reformulación: modificación de los datos para llegar a una situación aritmética ajustable (redondeo, truncamiento y sustitución por números compatibles próximos a los exactos; ej.: 367 − 350).
• Traslación: cambio sobre la operación que modifica la estructura del problema, como cambiar el orden de las operaciones o usar una operación equivalente.
• Compensación: reducir el error producido generando un error en sentido contrario.

Calculadora: herramienta necesaria con buen uso; sirve para facilitar o validar el cálculo.

Adquisición de la medición

Proceso: percepción, comparación, búsqueda de referentes y medición como sistema.

• Percepción: los niños no perciben la igualdad; hay que exponerlos a estímulos y a las propiedades de los objetos.
• Comparación: directa (con referencias presentes) e indirecta (referencias no inmediatas).
• Búsqueda de referentes: cuando los números aumentan, surge una diferencia estable en la relación (pasos, palmos).
• Medición como sistema: surge la necesidad de homogeneizar referentes para que puedan comunicarse las personas.

Materiales para medir

• Longitud: regletas, reglas o cinta métrica, alambres, cuerdas, barras de madera o cartón, juegos de carpintería, talleres de bolillos, rueda métrica y metrólogo o cuenta centímetros.
• Masa: balanza digital o romana, objetos del mismo volumen, plastilina o arcilla, báscula.

Secuencia: comparar y ordenar → elegir unidad adecuada → instrumento → estimación → medir → comparar la medida con la estimación → valorar el error.

Piaget y la geometría

Etapas del aprendizaje (Piaget): sensoriomotora, preoperacional, operaciones concretas y lógico-formal.

Propiedades geométricas:

• Proyectivas: orientación y localización (delante, detrás, encima, debajo, derecha, izquierda).
• Topológicas: no varían por deformación (interior, exterior, frontera, continuidad, discontinuidad, conexión).
• Métricas: medida y forma (longitud, superficie, volumen, forma, perpendicularidad, paralelismo).

Visualización: el problema de la primera vez, papel fundamental de la vista, percibir diversos elementos constitutivos y abordar sus características.

Razonamiento: aplicación de la lógica, extracción de propiedades, establecimiento de relaciones y análisis de problemas.

Representación: gráficas, planas, maquetas; centro de interés, imprescindible para expresar, comunicar y construir conocimientos, conceptos e ideas geométricas.

Modelo de Van Hiele

Cinco niveles de conocimiento geométrico:

1. Visualización o reconocimiento de figuras.
2. Análisis de partes y propiedades.
3. Ordenación y clasificación.
4. Deducción formal y justificación de propiedades planteadas.
5. Rigor: distinciones y relaciones entre distintos sistemas axiomáticos.

Afirman que el paso de un nivel a otro depende de la instrucción recibida y no de la edad o la madurez.

Cinco fases de aprendizaje:

1. Información: el profesor propone situaciones, contextos y escenarios de aprendizaje; oral, con preguntas para conocer el punto de partida.
2. Orientación dirigida: el docente plantea una secuencia de actividades que permite al alumno explorar, investigar y reflexionar con materiales.
3. Explicitación: intercambio de ideas, resultados y experiencias.
4. Orientación libre: aplicación de los conocimientos adquiridos a actividades más complejas y abiertas.
5. Integración: síntesis y consolidación de lo aprendido.