Espacios Vectoriales y Producto Escalar: Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal

Espacios vectoriales y producto escalar

VF. Sea seg. o a-or. b-ext. def, x, par, ord, puntos vien, deter, x, or(A) comenz, mod(dist), dir, sent. = dir paral = dir y sentido = semiplano respecto a c. -F conj vect fij plan. equip. AB?A'B' solo = dir sent mod (paralelogramo).

VL. Conj vect fij equip a 1 dado. OA (representante) a. D: m, dys d VL al d 1 de sus rep. Conj vec L plano v2(R).

Prop + intern. asoc (i+i). elem neutro. simetr (a+a') = e. conm. l+i: i+l.

RxV [t] x mod AB. dir: AB. sent: AB si T+. Prp. ext. dist t(a+b) y (t+s)a. asoc t(sa). a1 = a. PV esp vect sobre R.

CL: a1 a2 familia vect v2r. Cl de ellos: vector multi los 2 x escal cualq y sumarlos. a = cl a1 a2 si E ts a = sa + ta.

ClauL: de fam vect ai, conj todas CL de los vec. FOR.

SG: fam vec ai es sg de v2 si K(ai) = v2r (si tdo vector d V es CL de los vec de fam a).

VDep - a1 a2 pertenecientes a v2r son ld si existe alguna cl con algún escalar ti ? 0. L: toda CL ti = 0. Fam vect L indep - si ligad.

Base: fam vec ai es B de V si es SG de V y libre. Todo espacio vectorial posee al menos 1 B (natural). v2R base 1, 0... Si base de EV nº finito de elem, todas tendrán ese nº. V2R 2.

Dimensión: de EV V al nº elem de cada 1 de sus B. Demuestra k: si EV dim n, todo SL de n vect d ese EV es B. v2r 2.

Coord/comp: si vi B de EV v2r, cualq V a se puede expresar como CL de elem de B, que es SG. ?t1 t2 k: t1v1 + ... = a. t1, t2 = coord de V a en esa B. Coord de 1 V respecto a B son únicas. 2 V son = si comp = u = v - (x,y) = (x',y').

Producto escalar

P.E. de 2 V: sea V un plano vectorial. Llamamos producto escalar a la aplicación V x V en R que a cada par de V asocia un número real a x b (producto escalar de AB). PE de V x sí mismo = +∞. Si es 0 es que es nulo. Propiedades: conmutativa ab = ba; distributiva a(b + c) = ab + ...; asociativa t(ab) = (ta)b.

EV de PE: a partir de las propiedades del PE deducimos cos θ = ab / |a||b|, con θ ∈ [0, π]. θ = ángulo entre a y b. Definición: el PE es igual al módulo del primer vector por el del segundo por el coseno del ángulo que determinan.

Definición: dos vectores a y b no nulos son perpendiculares si su PE = 0, es decir, si cos θ = 0.

Expresión en coordenadas del PE: sea {u1, u2} una base de V y a, b dos vectores de V cuyas coordenadas respecto a B son (x, X) e (y, Y). El PE de a y b será (xu1 + Xu2)(yu1 + Yu2) = xy(u1u1) + xY(u1u2) + ... Una base B es ortonormal si ui · ui = 1 y ui · uj = 0 (i ≠ j). Si B es ortonormal, ab = xy + XY.

Interpretación geométrica del PE: dados u, v ∈ V2R, proyectamos v sobre el triángulo ACB en k: proy_u v = |v| cos θ. Como uv = |u||v| cos θ, el PE de 2 vectores es el módulo de uno por la proyección del otro sobre él.

Módulo de un vector: es la raíz positiva del PE de un vector consigo mismo: |u| = √(uu). Si las coordenadas de V en una base ortonormal son (x, X), entonces |V| = √(x² + X²). Un vector libre es unitario si su módulo = 1. Dado un vector libre no nulo, siempre se puede determinar un vector unitario con la misma dirección y sentido, dividiendo el vector por su módulo.

Ángulo de 2 vectores: si a y b son 2 vectores, determinamos el ángulo entre ambos: cos(ab) = ab / (|a||b|). Las coordenadas de los vectores son a (x, X) y b (y, Y) en una base ortonormal; el ángulo que determinan viene dado por la fórmula anterior.

Teorema: una base B es ortonormal si: ui · ui = 1 (vectores unitarios) y ui · uj = 0 (vectores perpendiculares).

Combinación lineal: K(ai) = {a ∈ V2R | a = Σ(i=1 a n) ti · ai ; ti ∈ R}