Estudio Completo de Funciones: Conceptos, Gráficas y Ecuaciones

Estudio Completo de Gráficas

• Dominio D(f): Valores que pasan por el eje X.
• Recorrido R(f): Valores que pasan por el eje Y.
• Crecimiento, decrecimiento y constante: Siempre se expresan con intervalos ().
• Punto de corte eje Y: Solo corta una vez; se debe indicar en qué punto corta.
• Punto de corte eje X: Puede haber 0, 1 o 2 puntos. Se resuelve la ecuación ax² + bx + c = 0.
• Continuidad o discontinuidad.
• Simetría: Es simétrica si f(x) = f(-x); no es simétrica si f(x) ≠ f(-x).
• Par e Impar: Par si f(x) = f(-x); Impar si -f(x) = f(x).
• Extremos: Máximo absoluto, máximo relativo, mínimo absoluto y mínimo relativo.
• f(x): Es la coordenada Y correspondiente al eje X.

Periodicidad

Una función es periódica si f(x) = f(x + T), es decir, cuando la misma coordenada se repite varias veces en un cierto intervalo de la variable independiente. La longitud del intervalo se llama periodo y se representa por T (indica cada cuántos valores se repite).

Continuidad

Una función es continua si su gráfica no tiene saltos. Si tiene saltos, es discontinua.

Máximos y Mínimos

Cuando la gráfica sube y vuelve a bajar, se forma un máximo. Si solo sube o solo baja, no hay máximo ni mínimo. Si baja y luego sube, es un mínimo relativo. El punto más alto es el máximo absoluto y los demás puntos son máximos relativos. El punto más bajo es el mínimo absoluto.

Crecimiento, Decrecimiento y Tasa de Variación (TV)

• Creciente: Cuando la función sube, TV[a, b] ≥ 0.
• Decreciente: Cuando la función baja, TV[a, b] ≤ 0.
• Constante: Cuando la función se mantiene, TV[a, b] = 0.
• Fórmula TV: TV[a, b] = f(b) - f(a).

Ecuación de la Recta

Es la ecuación que cumplen las coordenadas X e Y de todos los puntos de la recta:

• Explícita: y = mx + n
• Pasa por 2 puntos: (y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)
• Punto-pendiente: y - y1 = m(x - x1)
• General: ax + by + c = 0

Funciones Lineales

Una función lineal es de la forma y = mx + n:

• Su gráfica es una recta de pendiente m y ordenada en el origen n.
• Si A(x1, y1) y B(x2, y2) son dos puntos de la recta, su pendiente es m = (y2 - y1) / (x2 - x1).
• Pendiente: m > 0 (creciente), m < 0 (decreciente), m = 0 (recta horizontal).
• La ordenada en el origen n indica que la recta corta al eje Y en el punto (0, n).

Funciones Cuadráticas

Una función cuadrática es de la forma y = ax² + bx + c:

• Su gráfica es una parábola.
• Si a > 0, las ramas se abren hacia arriba; si a < 0, hacia abajo.
• El vértice de la parábola tiene abscisa x = -b / 2a.
• El eje de simetría es la recta x = -b / 2a.
• El punto de corte con el eje Y es (0, c).
• Puede tener 0, 1 o 2 puntos de corte con el eje X, obtenidos al resolver ax² + bx + c = 0.