Estudio de funciones: dominio, continuidad, máximos y mínimos, funciones lineales y cuadráticas

Q: ¿Cuál es la abscisa del vértice de una parábola y = ax² + bx + c?

La abscisa del vértice es x = -b / 2a. Esa misma recta es el eje de simetría de la parábola.

Q: ¿Cómo se sabe si una función lineal es creciente o decreciente?

Depende del signo de la pendiente m: si m > 0 es creciente, si m < 0 es decreciente y si m = 0 la recta es horizontal.

Q: ¿Cuándo una función es periódica?

Una función es periódica si f(x) = f(x + T), es decir, si la misma coordenada se repite en un intervalo de la variable independiente cuya longitud es el periodo T.

Resumen

El documento repasa los elementos básicos para estudiar una función: dominio, recorrido, cortes con los ejes, continuidad, simetría, periodicidad, crecimiento y extremos. Incluye la tasa de variación y las distintas formas de la ecuación de la recta. Termina con las funciones lineales y cuadráticas, sus pendientes, vértices y ejes de simetría.

Puntos clave

La función es periódica si f(x) = f(x + T), siendo T el periodo.
Creciente si TV[a, b] ≥ 0, decreciente si TV[a, b] ≤ 0 y constante si TV[a, b] = 0, con TV[a, b] = f(b) - f(a).
La función es par si f(x) = f(-x) e impar si -f(x) = f(x).
En una función lineal y = mx + n, m es la pendiente y n la ordenada en el origen.
En una función cuadrática y = ax² + bx + c, el vértice tiene abscisa x = -b / 2a y el eje de simetría es esa misma recta.
Los cortes con el eje X de una cuadrática se obtienen resolviendo ax² + bx + c = 0, pudiendo haber 0, 1 o 2 puntos.

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Estudio Completo de Gráficas

Dominio D(f): Valores que pasan por el eje X.
Recorrido R(f): Valores que pasan por el eje Y.
Crecimiento, decrecimiento y constante: Siempre se expresan con intervalos ().
Punto de corte eje Y: Solo corta una vez; se debe indicar en qué punto corta.
Punto de corte eje X: Puede haber 0, 1 o 2 puntos. Se resuelve la ecuación ax² + bx + c = 0.
Continuidad o discontinuidad.
Simetría: Es simétrica si f(x) = f(-x); no es simétrica si f(x) ≠ f(-x).
Par e Impar: Par si f(x) = f(-x); Impar si -f(x) = f(x).
Extremos: Máximo absoluto, máximo relativo, mínimo absoluto y mínimo relativo.
f(x): Es la coordenada Y correspondiente al eje X.

Periodicidad

Una función es periódica si f(x) = f(x + T), es decir, cuando la misma coordenada se repite varias veces en un cierto intervalo de la variable independiente. La longitud del intervalo se llama periodo y se representa por T (indica cada cuántos valores se repite).

Continuidad

Una función es continua si su gráfica no tiene saltos. Si tiene saltos, es discontinua.

Máximos y Mínimos

Cuando la gráfica sube y vuelve a bajar, se forma un máximo. Si solo sube o solo baja, no hay máximo ni mínimo. Si baja y luego sube, es un mínimo relativo. El punto más alto es el máximo absoluto y los demás puntos son máximos relativos. El punto más bajo es el mínimo absoluto.

Crecimiento, Decrecimiento y Tasa de Variación (TV)

Creciente: Cuando la función sube, TV[a, b] ≥ 0.
Decreciente: Cuando la función baja, TV[a, b] ≤ 0.
Constante: Cuando la función se mantiene, TV[a, b] = 0.
Fórmula TV: TV[a, b] = f(b) - f(a).

Ecuación de la Recta

Es la ecuación que cumplen las coordenadas X e Y de todos los puntos de la recta:

Explícita: y = mx + n
Pasa por 2 puntos: (y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)
Punto-pendiente: y - y1 = m(x - x1)
General: ax + by + c = 0

Funciones Lineales

Una función lineal es de la forma y = mx + n:

Su gráfica es una recta de pendiente m y ordenada en el origen n.
Si A(x1, y1) y B(x2, y2) son dos puntos de la recta, su pendiente es m = (y2 - y1) / (x2 - x1).
Pendiente: m > 0 (creciente), m < 0 (decreciente), m = 0 (recta horizontal).
La ordenada en el origen n indica que la recta corta al eje Y en el punto (0, n).

Funciones Cuadráticas

Una función cuadrática es de la forma y = ax² + bx + c:

Su gráfica es una parábola.
Si a > 0, las ramas se abren hacia arriba; si a < 0, hacia abajo.
El vértice de la parábola tiene abscisa x = -b / 2a.
El eje de simetría es la recta x = -b / 2a.
El punto de corte con el eje Y es (0, c).
Puede tener 0, 1 o 2 puntos de corte con el eje X, obtenidos al resolver ax² + bx + c = 0.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la abscisa del vértice de una parábola y = ax² + bx + c?