Exercices de Probabilités et Statistiques : Fondamentaux et Applications Pratiques

Exercices Pratiques de Probabilités et Statistiques

Ce document présente une série de problèmes résolus portant sur les concepts fondamentaux des probabilités, de la statistique descriptive et des lois de distribution.

1. Distribution de Probabilité et Loi Normale

Soit une variable aléatoire x avec les valeurs suivantes : -25, -10, 0, 5.

• Distribution de probabilité F(x) : P(X ≤ x) = {0,1 ; 0,3 ; 0,6 ; 1}.
• Espérance mathématique (Moyenne) : μ = (-25 × 0,1) + (-10 × 0,2) + (0 × 0,3) + (5 × 0,4) = 2,5.
• Varianza : σ² = [(-25)² × 0,1 + (-10)² × 0,2 + 5² × 0,4] - (2,5)² = 86,25.
• Écart-type : σ = √86,25 ≈ 9,29.

2. Problèmes d'Urnes et de Dés

L'Urne de Couleurs

Une urne contient 3 balles blanches, 5 rouges et 4 bleues. On tire une balle au hasard.

• Nombre de cas favorables (rouge) : 5
• Nombre de cas possibles : 12
• Probabilité P(Rouge) : 5/12.

Lancer de Deux Dés

On lance deux dés et on observe la somme des points.

• Probabilité que la somme soit égale à 7 : Il existe 6 combinaisons favorables sur 36 possibles, soit 6/36.
• Probabilité conditionnelle : Si l'on sait que la somme est 7, quelle est la probabilité qu'un 3 soit apparu ? Les options sont (3,4) et (4,3). P(B/A) = (2/36) / (6/36) = 2/6.

3. Études de Cas et Probabilités Conditionnelles

Étude Sanitaire

Dans une population, la probabilité de souffrir de problèmes coronariens est de 0,10, celle de l'obésité est de 0,25, et l'intersection des deux est de 0,05.

• Probabilité d'être coronarien sachant que l'individu est obèse : P(C/O) = P(C ∩ O) / P(O) = 0,05 / 0,25 = 0,20.

Analyse d'une Classe (Gauchers et Droitiers)

Une classe est composée de 19 garçons et 16 filles (Total : 35). Parmi eux, 4 garçons et 3 filles sont gauchers.

• Probabilité de choisir un garçon : 19/35.
• Probabilité d'être une fille et gauchère : 3/35.
• Probabilité d'être droitier sachant que c'est un garçon : P(Droitier/Garçon) = 15/19.

Analyse d'une Classe (Couleur de Cheveux)

Dans une classe de 18 garçons et 20 filles, 1/3 des garçons et la moitié des filles ont les cheveux noirs.

• Probabilité d'être un garçon ou d'avoir les cheveux noirs : P(H ∪ N) = P(H) + P(N) - P(H ∩ N) = 14/19 (selon l'échantillon donné).
• Probabilité d'être une fille sachant que les cheveux sont noirs : P(F/N) = 5/8.

4. Probabilités en Milieu Scolaire et Vie Quotidienne

L'Institut

Sur 800 élèves, 425 sont des filles. 330 filles étudient l'anglais et 90 garçons étudient le français.

• Probabilité d'être un garçon étudiant l'anglais : 285/800.
• Probabilité d'être une fille sachant que l'élève étudie le français : P(F/Fr) = 95/185.
• Probabilité d'étudier l'anglais sachant que c'est une fille : P(Ang/F) = 330/425.

Jeux de Cartes

Probabilité de tirer un As en première carte et un As en deuxième carte (sans remise) : (4/40) × (3/39).

5. Espérance de Vie et Voyages

Survie d'un Couple

La probabilité qu'un homme soit en vie est de 1/4 et celle d'une femme est de 1/3.

• Probabilité qu'au moins l'un des deux soit en vie : P(H ∪ F) = P(H) + P(F) - P(H ∩ F) = 1/4 + 1/3 - 1/12.

Voyage à Malte

Sur 140 personnes, 75 sont des femmes, 70 sont mariées et 55 femmes sont mariées.

• Probabilité d'être un homme célibataire : 50/140.
• Probabilité d'être une femme sachant que la personne est mariée : P(F/M) = 55/70.

6. Logique et Gestion de Stocks

Recherche dans un Dictionnaire

Probabilité de trouver un mot dans le premier dictionnaire : 0,4 ; dans le second : 0,6.

• Probabilité de le trouver uniquement dans l'un des deux : (0,4 × 0,4) + (0,6 × 0,6) = 0,16 + 0,36 = 0,52.

Gestion de Supermarché

10 % des briques de lait sont percées, 20 % sont périmées et 5 % sont les deux à la fois.

• Probabilité qu'une brique soit défectueuse (percée ou périmée) : 0,1 + 0,2 - 0,05 = 0,25.
• Espérance sur 500 briques : Si 25 % sont mauvaises, 75 % sont bonnes. Espérance (μ) = 500 × 0,75 = 375 briques en bon état.

Maintenance des Machines

La machine A nécessite une surveillance avec une probabilité de 1/7, et la machine B de 1/5.

• Probabilité qu'aucune surveillance ne soit nécessaire : (6/7) × (4/5) = 24/35.