Factorización de trinomios y polinomios

1er caso

5a2 - 15ab - 10 ac

El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto

5a2 - 15ab - 10 ac = 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c = 5a(a - 3b - 2c)

2do caso

2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b

Agrupo los términos que tienen un factor común:

(2ax - ay + 5a) + (2bx - by + 5b)

Saco el factor común de cada grupo:

a (2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )

Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:

(2x -y +5)(a + b)

3er caso

a2 +2ab + b2= (a+b)2

4x2 – 20xy + 25y2= (2x – 5y) (2x – 5y) = (2x – 5y)2 R/.

16 + 40x2 + 25x4 = (4 + 5x2) (4 + 5x2) = (4 + 5x2)2

9b2 – 30a2b + 25a4 = (3b – 5a2) (3b – 5a2) = (3b – 5a2)2

400x10 + 40x5 + 1 = (20 x5 + 1) (20 x5 + 1) = (20 x5 + 1)2

4to caso

9y2-4x2= (3y-2x) (3y+2x)

5to caso

4a4 + 8a2 b2 + 9b4

4a4 + 8a2 b2 + 9b4

+ 4a2 b2 - 4a2 b2

4a4 +12a2b2 + 9b4- 4a2b2 = (4a4 + 12a2 b2 + 9b4) - 4a2b2

(4a4 + 12a2 b2 + 9b4) - 4a2 b2

(2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2

(2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 = [(2a2 + 3b2) + 2ab] * [(2a2 + 3b2) - 2ab]

(2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 = [2a2 + 3b2 + 2ab] * [2a2 + 3b2 - 2ab]

4a4 + 8a2 b2 + 9b4= [2a2 + 2ab + 3b2] * [2a2 – 2ab + 3b2]

6to caso

Trinomios de la forma x2 + bx + c son trinomios como

x2 + 5x + 6

a2 – 2a – 15

m2 + 5m – 14

y2 – 8y + 15

Que cumplen las condiciones siguientes:

• El coeficiente del primer término es 1
• El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
• El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
• El tercer termino es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo termino y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa

7mo caso

6x2 -7x -3

1. Se multiplica el coeficiente del primer término” 6” por todo el trinomio, dejando el producto del 2 término indicado:
2. Se ordena tomando en cuenta que 36x2 = (6x)2 y 6(-7x) = -7(6x), escribiéndolo de la siguiente manera: (6x) 2 -7(6x) -18
3. Luego se procede a factorar (6x) 2 -7(6x) -18 como un problema del Caso VI. Con una variante que se explica en el Inciso 6°
4. Se forman 2 factores binomios con la raíz cuadrada del primer término del trinomio: (6x- ) (6x+ )
5. Se buscan dos números cuya diferencia sea -7 y cuyo producto sea -18 esos números son -9 y +2 porque: -9 +2 = -7 y (-9) (2) = -18= (6x-9)(6x+2)
6. Aquí está la variante: Como al principio multiplicamos el trinomio por “6″, entonces ahora los factores binomios encontrados, los dividimos entre”6″

8vo caso

8a3 -36a2b+54ab2-27b3

La raíz cúbica de 8a3 es 2a

La raíz cúbica de 27b3es 3b

3(2 a)2(3b) = 36a2 b, segundo término

3(2 a) (3b)2 = 54ab2, tercer término

Y como los términos son alternativamente positivos y negativo, la expresión dada es el cubo de:

R. (2a -3b)3

9no caso

REGLA 1 la suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

1. La suma de sus raíces cúbicas
2. El cuadrado de la primera raíz, menos la multiplicación de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. a3 +b3 =(a+b) (a2-ab+b2)

La fórmula (2) nos dice:

REGLA 2

1. La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
2. La diferencia de sus raíces cúbicas
3. El cuadrado de la primera raíz, más el cuadrado de la segunda raíz. a3 - b3 =(a-b) (a2+ab+b2)