Formulario Esencial de Derivadas y Aplicaciones al Estudio de Funciones

Reglas de Derivación

• D. log. neperiano: Uno partido de la función por la derivada de la función.
• D. función elevada a un número: El exponente se pone delante de la función, por la función rebajada un grado, por la derivada de la función.
• D. número elevado a una función: Ella misma por la derivada del exponente por el logaritmo neperiano de la base.
• D. número e: Ella misma por la derivada del exponente.
• D. de la tangente:
  • a) Uno partido coseno cuadrado de la función por la derivada de la función.
  • b) Uno más tangente cuadrada de la función por la derivada de la función.
• D. cotangente: Menos uno partido el seno cuadrado de la función por la derivada de la función.
• D. arcoseno: Uno partido de la raíz cuadrada de uno menos la función al cuadrado por la derivada de la función.
• D. arcocoseno: Menos uno partido de la raíz cuadrada de uno menos la función al cuadrado por la derivada de la función.
• D. arcotangente: Uno entre uno más la función al cuadrado por la derivada de la función.

Aplicaciones de las Derivadas

1. Dominio de f(x).
2. Puntos de corte.
3. Regiones de signo constante: Igualar a cero el numerador y denominador; los valores de la x se colocan en una recta a intervalos. En estos intervalos se eligen valores de la x y, si sale positivo, en la gráfica se tacha lo de abajo.
4. Monotonía: Se calcula la derivada de f y se iguala a 0; los valores que resultan de la x son posibles extremos relativos. Estos valores se ponen en una recta junto a los polos para determinar si es creciente o decreciente.
5. Extremos relativos a partir de la segunda derivada: Se calcula la segunda derivada y, en los posibles extremos relativos, se sustituye el valor de la x; si el resultado es positivo, hay un mínimo.
6. Asíntotas y ramas parabólicas:
   • AV (Asíntota Vertical): Límites laterales de los polos.
   • AH (Asíntota Horizontal): Límites cuando x tiende a infinito.
   • AO (Asíntota Oblicua): y = mx + n; donde m = lim (x→±∞) f(x)/x (perteneciente a R) y n = lim (x→±∞) [f(x) - mx] (perteneciente a R).
   • RP (Rama Parabólica): Cuando la AH es infinito.

Geometría de la Función

• Recta tangente: y - f(x₀) = f'(x₀) · (x - x₀)
• Recta normal: y - f(x₀) = -1/f'(x₀) · (x - x₀)

Definiciones Adicionales

• Para hacer la derivada: f'(x) = lim (h→0) [f(x₀ + h) - f(x₀)] / h
• Factorial de un número: (-1)ⁿ · numerador · n / (denominador)ⁿ⁺¹