Formulario hipérbola

Los focos y los Vértices de una hipérbola son los puntos: F(5, 0), F’(-5, 0), V1(4, 0) y
V2(-4, 0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e indicar las Asíntotas.  
 

SOLUCIÓN

Como los focos Están sobre el eje x, la ecuación De la hipérbola es de la forma: . 

fig. 6.5.13. 

En este caso: a = 4; c = 5, de donde  (Ver fig. 6.5.13.)  En consecuencia, la Ecuación de la hipérbola es: . 

Ahora, 

Luego, las Ecuaciones de las asíntotas son las rectas: , y, 

2. Dada la Hipérbola cuya ecuación viene dada por: . Determine: coordenadas de los focos, de los Vértices, ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica. 

SOLUCIÓN

La Ecuación: , puede escribirse en las formas equivalentes: 

La última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo Eje focal coincide con el eje y 
(fig. 6.5.14.) 

fig. 6.5.14.

En este caso: . Luego, . 

Con estos datos, se tiene: F(0, 4), F’(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3). 

Además de la ecuación: , se deduce que las ecuaciones de las asíntotas son Las rectas de ecuación:  e . 

3. Una hipérbola Cuyo centro es el punto C(2, 3), Tiene sus focos sobre la recta y = 3. Además, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus Vértices es 8 unidades. Trazar la gráfica y determine: coordenadas de los Vértices, focos y ecuaciones de las asíntotas. 

SOLUCIÓN

Como La distancia entre los vértices es 8, se sigue que a = 4. Igualmente, como 2c = 10, se sigue que c = 5 y por Lo tanto b2= c2– a2= 9. Así que b = 3 (fig. 6.5.15.). 

fig. 6.5.15.

Ahora, puesto que los focos están sobre la recta y = 3 (paralela al eje x), la ecuación De la hipérbola pedida tiene la forma: 

Las coordenadas de los focos son:  y y = 3. Esto es: F(7, 3) y F’(-3, 3).
Igualmente, las coordenadas de los vértices son:  y y = 3. Esto Es, V1(6, 3) y V2(-2, 3). 

Además, de la ecuación: , se deduce que: ; y 

son las Ecuaciones de las asíntotas. 
 

4.  Dada La hipérbola, cuya ecuación en su forma general es: 3y2– x2+ 4x – 6y – 13 = 0. Determine y grafique: Centro, focos, vértices y     ecuaciones de las Asíntotas. 

SOLUCIÓN

La Ecuación general, puede escribirse en las formas equivalentes:

Esta última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo Centro es el punto C(2, 1) y su eje Focal es una recta paralela al eje y que pasa por C(2, 1). En esta caso, x = 2 (fig. 6.5.16.) 

fig. 6.5.16.

Además, a2= 4, b2= 12. Con lo cual: . 

Las coordenadas de los focos son: x = 2 e . Esto es F(2, 5) y F’(2, -3). Igualmente, las Coordenadas de los vértices son: x = 2 e . Esto es V1(2, 3) Y V2(2, -1). 

Las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: , e, .