Fórmulas de Economía: VAN, TIR, VPC y CAE para Evaluar Proyectos de Inversión
1. Fórmulas principales
Flujo de caja (FC):
FC = Ingresos − Costos
Flujo del último año = Ingresos − Costos + Valor de rescate
Valor actual neto (VAN):
VAN = −Inversión inicial + Σ [FCₜ / (1+i)ᵗ]
Tasa interna de retorno (TIR):
Es la tasa que hace que el VAN sea igual a cero.
Factor de anualidad (F):
F = [1 − (1+i)⁻ⁿ] / i
Valor presente de costos (VPC):
VPC = Inversión inicial + Costos anuales × F − VR/(1+i)ⁿ
Costo anual equivalente (CAE):
CAE = VPC × [i(1+i)ⁿ / ((1+i)ⁿ − 1)]
Valor presente de un monto futuro:
VP = VF / (1+i)ⁿ
Donde:
i = tasa de interés en decimal.
n = número de períodos.
VR = valor de rescate.
FCₜ = flujo de caja del período t.
VF = valor futuro.
2. Valor de rescate
El valor de rescate es el dinero que se obtiene al vender o recuperar un activo al final de su vida útil.
¿Cómo se calcula su valor presente?
VP del rescate = VR / (1+i)ⁿ
Ejemplo de aplicación: Si el rescate se recibe al año 5, se divide por (1+i)⁵. Si se recibe al año 4, se divide por (1+i)⁴.
Reglas importantes:
En el VAN, el valor de rescate se suma al flujo de caja del último año y luego se descuenta.
En el VPC, el valor presente del rescate se resta, porque representa una recuperación de dinero.
El exponente corresponde al año en que se recibe el rescate.
Si no existe valor de rescate, se considera igual a cero.
3. VAN: criterios de decisión
VAN > 0: aceptar; el proyecto genera valor.
VAN = 0: cumple exactamente la rentabilidad exigida.
VAN < 0: rechazar; no alcanza la rentabilidad exigida.
Si existen proyectos excluyentes comparables, se prefiere el que tenga el VAN más alto, siempre que sea positivo.
Importante: la inversión inicial se registra negativa y los flujos futuros se descuentan según el año en que ocurren.
4. TIR: criterios de decisión
TIR > TMAR: aceptar.
TIR = TMAR: indiferente.
TIR < TMAR: rechazar.
La TMAR es la tasa mínima atractiva de retorno exigida al proyecto.
Importante: no confundir la TIR con el VAN. La TIR es un porcentaje y el VAN es un monto de dinero.
5. VPC y CAE
VPC: calcula cuánto valen hoy los costos de una alternativa durante su vida útil.
CAE: convierte el VPC en un costo anual equivalente.
Criterios de decisión:
VPC menor: alternativa con menor costo presente.
CAE menor: alternativa con menor costo anual equivalente.
Se utilizan para comparar alternativas que cumplen una misma función. El CAE resulta especialmente útil cuando las vidas útiles son diferentes.
Si los costos anuales son iguales:
VPC = Inversión inicial + Costos anuales × F − VP del rescate
Si los costos cambian cada año, se descuenta cada costo por separado y se suman sus valores presentes.
6. Costo de oportunidad
Es el valor de aquello a lo que se renuncia al elegir una alternativa.
En ejercicios de reemplazo de equipos:
Inversión neta = Precio del equipo nuevo − Valor de venta del equipo antiguo
Si se mantiene el equipo antiguo, se renuncia al dinero que se podría obtener vendiéndolo. Ese monto representa un costo de oportunidad.
Importante: se considera el valor actual de venta del equipo antiguo, no necesariamente su precio original de compra.
7. Reglas clave para los ejercicios
Inversión inicial: se registra en el período 0.
Ingresos: entradas de dinero.
Costos: salidas de dinero.
Último año: agregar el valor de rescate, si existe.
VAN: sumar los flujos descontados y restar la inversión inicial.
VPC: sumar los costos descontados y restar el valor presente del rescate.
CAE: convertir el VPC en un costo anual equivalente.
Tasa: transformar el porcentaje a decimal. Por ejemplo, 11% = 0,11.
Períodos: deben coincidir con la tasa. Si la tasa es anual, los períodos deben estar expresados en años.
Descuento: un flujo del año 1 se divide por (1+i)¹; uno del año 2, por (1+i)², y así sucesivamente.
8. Pasos para resolver
Para VAN y TIR:
Identificar la inversión inicial y los flujos de cada año.
Incorporar el valor de rescate al último flujo.
Utilizar la TMAR para calcular el VAN.
Comparar el VAN con cero o la TIR con la TMAR.
Determinar si se acepta o rechaza el proyecto.
Para VPC y CAE:
Identificar inversión, costos anuales, vida útil y valor de rescate.
Calcular el factor de anualidad.
Descontar el valor de rescate con VR/(1+i)ⁿ.
Calcular el VPC.
Calcular el CAE si lo solicitan.
Comparar las alternativas y elegir el menor costo presente o anual equivalente.
Recuerda:
VAN y TIR → evalúan la rentabilidad.
VPC y CAE → comparan costos.
VAN más alto → preferible entre proyectos excluyentes comparables.
VPC o CAE más bajo → preferible entre alternativas de costo equivalentes.
Rescate en VAN → se suma al último flujo.
Rescate en VPC → se descuenta a valor presente y se resta.