Fórmulas de Matemáticas: Álgebra, Geometría y Cálculo

Álgebra Lineal y Sistemas de Ecuaciones

Para el cálculo de la matriz inversa, podemos utilizar el método de Gauss-Jordan o la fórmula basada en la adjunta:

A^-1 = (Adj(A))^t / |A|

Para resolver sistemas de ecuaciones del tipo AX = B, despejamos la incógnita como X = A^-1B.

Teorema de Rouché-Frobenius

• Sistema Compatible: Si Rg(A) = Rg(A*).
  • Determinado: Si el rango es igual al número de incógnitas.
  • Indeterminado: Si el rango es menor al número de incógnitas.
• Sistema Incompatible: Si Rg(A) ≠ Rg(A*).

Geometría Analítica en el Espacio

Producto Escalar y Puntos

El producto escalar se define como: u • v = |u| |v| cos(u, v) = x·x' + y·y' + z·z'.

El punto medio de un segmento se halla mediante la fórmula: M = ((a+b)/2, ...).

Posiciones Relativas

Entre dos planos:

• Coincidentes: Rango 1 en la matriz de coeficientes y rango 1 en la ampliada.
• Paralelos: Rango 1 en la matriz de coeficientes y rango 2 en la ampliada.
• Secantes: Rango 2 en ambas matrices.

Entre tres planos:

• Pueden ser coincidentes, paralelos, formar una recta (haz de planos), ser secantes en un punto o formar un prisma.

Entre dos rectas:

Se analiza el rango de la matriz M(u, v) y la matriz ampliada M*(u, v, AB):

• Coincidentes: Rg(M)=1, Rg(M*)=1.
• Paralelas: Rg(M)=1, Rg(M*)=2.
• Secantes: Rg(M)=2, Rg(M*)=2.
• Se cruzan: Rg(M)=2, Rg(M*)=3.

Ángulos y Distancias

• Ángulo entre rectas: cos(r, s) = |u • v| / (|u| |v|).
• Ángulo entre planos: cos(α, β) = |n_α • n_β| / (|n_α| |n_β|).
• Ángulo recta-plano: sen(r, α) = |u_r • n_α| / (|u_r| |n_α|).
• Distancia punto-plano: d(P, α) = |A·x_p + B·y_p + C·z_p + D| / √(A² + B² + C²).
• Distancia entre planos paralelos: d(α, β) = |d' - d| / √(a² + b² + c²).
• Distancia punto-recta: d(P, r) = |AP × u| / |u|.
• Distancia entre rectas que se cruzan: d(r, s) = |det(A_rA_s, u, v)| / |u × v|.

Cálculo Diferencial

Límites e Infinitésimos

Cuando x → 0, se cumplen las siguientes equivalencias:

• x ≈ sen(x) ≈ tg(x) ≈ ln(1+x) ≈ e^x - 1 ≈ arcsen(x) ≈ arctg(x).
• 1 - cos(x) ≈ x² / 2.
• Si x → 1, entonces x - 1 ≈ ln(x).

Teoremas de Continuidad y Derivabilidad

• Teorema de Bolzano: Si f es continua en [a, b] y signo f(a) ≠ signo f(b), existe un c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.
• Teorema de Rolle: Si f es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f(a) = f(b), existe un c tal que f'(c) = 0.
• Teorema del Valor Medio: Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un c tal que f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

Reglas de Derivación

• Regla de la cadena: (f ˆ g)'(a) = f'(g(a)) · g'(a).
• (a^x)' = a^x ln(a).
• (ln x)' = 1/x.
• (log_a x)' = (1 / ln a) · (1/x).
• (cos x)' = -sen(x).
• (tg x)' = sec²(x) = 1 + tg²(x).
• (arcsen x)' = 1 / √(1 - x²).
• (arctg x)' = 1 / (1 + x²).

Representación de Funciones

Para representar una función se deben analizar: puntos característicos, cortes con los ejes, signo, simetría, periodicidad y asíntotas (oblicuas: m = lim f(x)/x, n = lim (f(x) - mx)).

Derivación Implícita

Ejemplo: Hallar la recta tangente a xy⁵ - y² + x³ = 9 en P(2, 1).

La ecuación será y - 1 = y'(2)(x - 2). Derivando implícitamente: x(5y⁴y') + y⁵ - 2yy' + 3x² = 0. Sustituimos x e y para despejar y'.

Cálculo Integral

Integrales Inmediatas y Métodos

• ∫ x^r dx = x^r+1 / (r+1)
• ∫ x^-1 dx = ln|x|
• ∫ a^x dx = a^x / ln(a)
• Integración por partes: ∫ u dv = uv - ∫ v du. Ejemplo: ∫ ln(t) dt = t·ln(t) - t + C.
• Cambio de variable: Para ∫ 2x · ³√(x² + 5) dx, tomamos t = x² + 5, por lo que dt = 2x dx.

Teorema Fundamental del Cálculo y Regla de Barrow

Regla de Barrow: ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a).

Teorema Fundamental del Cálculo: Si f es continua en [a, b] y F(x) = ∫_a^x f(t) dt, entonces F'(x) = f(x).

Generalización (Regla de Leibniz): (∫_u(x)^v(x) f(t) dt)' = f(v(x))v'(x) - f(u(x))u'(x).