Funciones Exponenciales y Logarítmicas: Conceptos y Aplicaciones

Funciones Exponenciales

Expresión general: y = a^x, donde a > 0 y a ≠ 1.

Dominio: ℝ

Imagen: (0, +∞)

Asíntota horizontal: Eje x

Clasificación (según su base):

• a > 1: Funciones crecientes (forma exponencial)
• 0 < a < 1: Funciones decrecientes

Aplicaciones:

• Desintegración radiactiva: Las sustancias radiactivas se descomponen en otras sustancias, siguiendo una función exponencial decreciente (base 0 < a < 1) y donde la “x” representa los años que tienen que pasar para que quede justo la mitad.
• Interés compuesto: En economía se calcula utilizando la fórmula exponencial: C = C0 (1 + i)^t

Produce una cantidad de dinero en la que los intereses también producen intereses.

• Evolución de la población en determinados seres vivos: Como virus, bacterias e insectos.

Funciones Logarítmicas y Logaritmos

Definición: Definidas mediante logaritmos.

Expresión general: y = log_a x, donde a > 0 y a ≠ 1.

Dominio: ℝ positivos (0, + ∞)

Imagen: ℝ

Asíntota vertical: Eje y

Siempre pasa por: (1,0) y (a, 1)

Tipos:

• 0 < a < 1: Función decreciente
• a > 1: Función creciente

Logaritmos

Definición: log_a b = c (Logaritmo en base “a” de “b” es igual a “c”)  a^c = b (Solo si “a” elevado a “c” es igual a “b”)

Propiedades:

• El logaritmo de la base es 1.
• El logaritmo de 1 es 0.
• El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos.
• El logaritmo de un cociente es igual a la resta de los logaritmos.
• El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.
• El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando elevado a 1 entre el índice de la raíz.
• Cambio de base: El logaritmo de un número respecto a una base es igual al cociente del logaritmo de ese número respecto a otra base partido del logaritmo de la base anterior respecto a la nueva.

Tipos de logaritmos:

• Logaritmos decimales: Tienen base 10, y se denotan sin base (log10 100  log 100  log 100 = 2)
• Logaritmos neperianos: Tienen base “e” (e = 2,7182) y se denotan como: ln b.