Fundamentos de Álgebra y Geometría: Conceptos, Ecuaciones y Figuras Planas

Lenguaje Algebraico

Expresiones algebraicas y valor numérico

• Monomios: Es el producto de un número llamado coeficiente y una o varias letras que pueden tener exponente o no, denominadas parte literal.
• Grado de un monomio: Es la suma de los exponentes de la parte literal. Cuando una letra no tiene exponente, se entiende que el exponente es uno.
• Monomios semejantes: Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal; es decir, tienen las mismas letras elevadas a los mismos exponentes.
• Polinomios: Es la suma o resta de varios monomios.

Suma y resta de monomios

Solo se pueden sumar monomios semejantes, es decir, los que tienen las mismas letras elevadas a los mismos exponentes. Se suman los coeficientes y se deja la misma parte literal. Si los monomios no son semejantes, se deja la suma indicada.

Ecuaciones

Las ecuaciones son igualdades algebraicas que solo son ciertas para determinados valores de las letras.

• Soluciones: Son los valores que hacen que la igualdad sea cierta.
• Resolver una ecuación: Consiste en hallar sus soluciones.

Resolución de ecuaciones de primer grado

Regla de la suma

Ejemplo: x + 4 = 12 → x + 4 - 4 = 12 - 4 → x = 8

En la práctica, los términos que están sumando pasan al otro miembro restando, y los que están restando pasan al otro miembro sumando.

Regla del producto

Ejemplo: 4 · x = 12 → 4/4 · x = 12/4 → x = 3

En la práctica, los números que están multiplicando pasan al otro miembro dividiendo y viceversa.

Pasos para resolver ecuaciones

1. Quitar denominadores: Si los hay, se multiplican todos los términos (incluidas las fracciones) por el MCM de los denominadores. Ojo: si una fracción tiene una suma, poner paréntesis. Se divide el MCM entre cada denominador.
2. Quitar paréntesis: Si los hay, se resuelven las operaciones indicadas.
3. Trasponer términos: Agrupar las incógnitas en un miembro y los números en otro.
4. Sumar: Simplificar los términos semejantes.
5. Despejar: Aislar la incógnita para hallar su valor.

Resolución de problemas mediante ecuaciones

1. Identifico las incógnitas.
2. Planteo una ecuación (igualdad).
3. Resolver la ecuación.
4. Sustituyo la solución en el paso 1.
5. Comprobar el resultado.

Rectas y Ángulos

Posiciones relativas de dos rectas

• Paralelas: No se cortan en ningún punto.
• Secantes: Tienen un punto en común.
• Perpendiculares: Al cortarse, forman cuatro ángulos rectos.

Ángulos y tipos de relaciones

• Ángulo agudo: Menos de 90°.
• Ángulo recto: Exactamente 90°.
• Ángulo obtuso: Más de 90°.
• Ángulo llano: 180°.
• Ángulo convexo: Menos de 180°.
• Ángulo cóncavo: Más de 180°.
• Ángulos complementarios: Suman 90°.
• Ángulos suplementarios: Suman 180°.
• Ángulos opuestos por el vértice: Tienen el mismo vértice y sus lados son semirrectas opuestas (A = B, C = D).

Polígonos

Elementos y clasificación

Definición: Es una figura plana cerrada, formada por segmentos.

Polígono regular: Es aquel que tiene todos sus lados y ángulos iguales (ejemplos: triángulo equilátero, cuadrado).

Triángulos

Igualdad de triángulos: Dos triángulos son iguales si sus tres lados y sus tres ángulos son iguales. Se llaman congruentes.

Criterios de igualdad

• Criterio 1: Los tres lados iguales.
• Criterio 2: Un lado y los dos ángulos adyacentes iguales.
• Criterio 3: Dos lados y el ángulo comprendido iguales.

Semejanza de triángulos

Definición: Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales: AB/A'B' = AC/A'C' = CB/C'B'.

• Criterio 1: Los tres lados proporcionales.
• Criterio 2: Dos ángulos iguales.
• Criterio 3: Dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.

Teorema de Pitágoras

• Para calcular la hipotenusa: h = √(a² + b²)
• Para calcular un cateto: a = √(h² - b²)

Perímetro y área de un triángulo

• Perímetro: Es la suma de las longitudes de todos sus lados.
• Área del triángulo: A = (b · h) / 2

Cuadriláteros

Es un polígono de cuatro lados cuya suma de ángulos interiores es 360°.

Clasificación de paralelogramos

• Cuadrado: Cuatro lados iguales y cuatro ángulos de 90°. Área = l².
• Rectángulo: Cuatro ángulos iguales (90°). Área = b · h.
• Rombo: Cuatro lados iguales. Área = (D · d) / 2.
• Romboide: Área = b · h.

Otros cuadriláteros

• Trapecio: Cuadrilátero con solo dos lados paralelos. Área = [(B + b) · h] / 2.
• Trapezoide: Cuadrilátero que no tiene ningún lado paralelo.

Polígonos Regulares

Ejes de simetría: Es la recta que divide la figura en dos partes iguales. Todos los polígonos regulares tienen el mismo número de lados que de ejes de simetría. Estos se cortan en el centro del polígono.

• Perímetro: P = n · l (número de lados por longitud del lado).
• Área: A = (P · ap) / 2 (donde ap es la apotema). En el hexágono regular, el lado es igual al radio.

Figuras Circulares

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia

• Recta secante: Corta a la circunferencia en dos puntos.
• Recta tangente: Corta en un solo punto.
• Recta exterior: No corta en ningún punto.

Posiciones relativas de dos circunferencias

• Secantes: Se cortan en dos puntos.
• Tangentes: Se cortan en un punto (pueden ser interiores o exteriores).
• Interiores: Una dentro de otra sin tocarse.
• Concéntricas: Tienen el mismo centro.
• Exteriores: No tienen puntos en común y están una fuera de la otra.

Ángulos en la circunferencia

• Ángulo central: El vértice está en el centro y sus lados son radios.
• Ángulo inscrito: El vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan.
• Relación: El ángulo central es el doble que el ángulo inscrito correspondiente (cuando comparten el mismo arco).

Longitud y área

• Longitud de la circunferencia: L = 2 · π · r o L = π · D.
• Longitud del arco: L_arco = (2 · π · r · Â) / 360°.

Circunferencia y polígonos

• Polígono inscrito: Todos sus vértices están en la circunferencia.
• Polígono circunscrito: Todos sus lados son tangentes a la circunferencia.

Círculo y figuras circulares

El círculo es la región interior, mientras que la circunferencia es el borde.

• Sector circular: Parte del círculo limitada por dos radios y su arco.
• Segmento circular: Región limitada por una cuerda y su arco.
• Zona circular: Porción limitada por dos cuerdas paralelas.
• Corona circular: Región comprendida entre dos circunferencias concéntricas.
• Trapecio circular: Región de una corona circular limitada por dos radios.

Áreas de figuras circulares

• Círculo: A = π · r²
• Sector circular: A = (π · r² · Â) / 360°
• Corona circular: A = π · (R² - r²)