Fundamentos de Álgebra Lineal y Cálculo: Aplicaciones, Determinantes y Sistemas

Aplicaciones Lineales

Si los vectores son linealmente independientes, entonces α₁ = α₂ = ⋯ = αₙ = 0. Con lo que el vector x = Θᵥ y, por tanto, Ker(f) = Θᵥ, quedando demostrado que la aplicación es inyectiva.

13. Demostración de sobreyectividad

Sea f: V → W una aplicación lineal y B = {v₁, v₂, ... , vₙ} una base de V. Demostrar que f es sobreyectiva ⇔ {f(v₁), f(v₂), ... , f(vₙ)} es un sistema generador de W.

• Necesidad (⇒): Si f es sobreyectiva, para todo y ∈ W existe un x ∈ V tal que f(x) = y. Como x es combinación lineal de la base B, al aplicar f, y resulta ser combinación lineal de {f(v₁), ..., f(vₙ)}.
• Suficiencia (⇐): Si {f(v₁), ..., f(vₙ)} genera W, cualquier y ∈ W se expresa como combinación lineal de las imágenes, lo que implica que existe un x ∈ V tal que f(x) = y.

14. Biyectividad y Bases

Sea f: V → W una aplicación lineal y B = {v₁, v₂, ... , vₙ} una base de V. Se verifica que f es biyectiva ⇔ {f(v₁), f(v₂), ... , f(vₙ)} es una base de W. Esta demostración es consecuencia directa de las propiedades de inyectividad y sobreyectividad.

15. Subespacios Vectoriales

Si S es un subespacio vectorial de V, entonces f(S) es un subespacio de W, ya que la aplicación lineal preserva la combinación lineal: αf(u) + βf(v) = f(αu + βv) ∈ f(S).

Determinantes (Tema 3)

El determinante asocia a cada matriz cuadrada A un número real det(A) o |A|. Se define como la suma algebraica de todos los productos de n elementos donde interviene uno de cada fila y uno de cada columna.

• Orden 5: El número de productos es 5! = 120.
• Propiedad: El determinante de una matriz con una fila de ceros es 0, pues cada producto del desarrollo contiene al menos un cero.
• Rango: Es el orden de la mayor submatriz cuadrada con determinante no nulo.

Sistemas de Ecuaciones (Tema 4)

Sistema de Cramer

Un sistema es de Cramer si tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (matriz cuadrada) y la matriz es no singular (|A| ≠ 0). Posee solución única.

Teorema de Rouché-Frobenius

1. Compatible: rg(A) = rg(A|B)
2. Determinado: rg(A) = rg(A|B) = n
3. Indeterminado: rg(A) = rg(A|B) < n
4. Incompatible: rg(A) ≠ rg(A|B)

Espacios Métricos y Topología (Tema 5)

Se define el producto escalar como una aplicación bilineal, simétrica y definida positiva. La norma se relaciona con el producto escalar mediante ‖x‖ = √⟨x, x⟩, y la distancia se induce mediante d(x, y) = ‖x − y‖.

Conceptos Topológicos

• Punto interior: Existe una bola abierta contenida en el conjunto.
• Punto adherente: Toda bola abierta interseca al conjunto.
• Punto de acumulación: Toda bola abierta contiene puntos del conjunto distintos al propio punto.
• Conjunto compacto: Cerrado y acotado.

Cálculo de Funciones (Tema 6)

Una función es continua en x₀ si limₓ→ₓ₀ f(x) = f(x₀).

Teoremas Fundamentales

• Bolzano: Si f es continua en [a, b] y f(a)·f(b) < 0, existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.
• Darboux (Valor Intermedio): La función alcanza todos los valores entre f(x₁) y f(x₂).
• Weierstrass: Toda función continua en un intervalo compacto alcanza su máximo y mínimo absoluto.