Fundamentos de Álgebra Lineal: Matrices, Espacios Vectoriales y Autovalores

Conceptos Fundamentales de Matrices

Matriz Traspuesta

Se define como la matriz de orden M x N que se obtiene al intercambiar las filas por las columnas de una matriz A de orden N x M.

Matriz Simétrica

Es una matriz cuadrada que es exactamente igual a su traspuesta (A = A^t).

Sistemas de Ecuaciones y Espacios Vectoriales

Sistemas Homogéneos

Un sistema homogéneo siempre tiene solución (al menos la solución trivial) y será un SCD (Sistema Compatible Determinado) si dicha solución es única.

Subespacios Vectoriales

Sea (V, +, ·, ℝ) un espacio vectorial y F un subconjunto de V. Se dice que F es un subespacio vectorial de V si F tiene estructura de espacio vectorial con las operaciones definidas en V; es decir, (F, +, ·, ℝ).

Combinación Lineal

Sea S el conjunto de vectores {v₁, v₂, v₃}, siendo S un subconjunto de V. Se dice que el vector v ∈ V es una combinación lineal de los vectores de S si puede expresarse mediante la suma de dichos vectores multiplicados por escalares.

Sistema Generador

Se dice que S es un sistema generador de V si todo vector de V se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de S.

Base y Dimensión de Sistemas

Un sistema S = {v₁, v₂, ..., vₙ} es una base de un espacio vectorial V si es linealmente independiente y generador de V. Se llama dimensión de un espacio vectorial V al número de vectores que compone cualquiera de sus bases.

Valores y Vectores Propios

Vector Propio

Sea x perteneciente al espacio vectorial V, con x ≠ 0. Se dice que x es un vector propio de la matriz A si existe un número real λ tal que Ax = λx.

Valor Propio

Sea λ un número real. Se dice que λ es un valor propio de la matriz A si existe un vector v ∈ V, con v ≠ 0, tal que Av = λv.

Polinomio Característico

Se llama polinomio característico de la matriz A al siguiente polinomio: Pₙ(λ) = |A - λI|.

Propiedades de los Valores y Vectores Propios

• A cada vector propio se le asocia un único valor propio.
• A un valor propio se le asocian infinitos vectores propios.
• Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico.
• Si λᵢ es un valor propio de la matriz A, entonces S_λᵢ = {v ∈ V / Av = λᵢv} es un subespacio vectorial de V.
• Si λ₀ es un valor propio de la matriz A, entonces se verifica que la dimensión dim(S_λ₀) = n - rg(A - λ₀I).
• Si λ₁, λ₂, ..., λₖ son k valores propios diferentes de una matriz A, entonces los vectores propios correspondientes v₁, v₂, ..., vₖ son linealmente independientes.

Matrices Congruentes y Formas Cuadráticas

Matriz congruente: Dos matrices simétricas A y B se dicen congruentes si existe una matriz inversible P tal que B = P^t · A · P. Dos matrices congruentes están asociadas a la misma forma cuadrática.

Cálculo de la Matriz Inversa

Si el determinante |A| ≠ 0, entonces la matriz A es inversible.

Se cumple que: A · Adj(A) = Adj(A) · A = |A| · I

Por ser |A| ≠ 0:

Regla de Cramer

Relación entre Vectores y Valores Propios

CADA VECTOR PROPIO ESTÁ ASOCIADO A UN ÚNICO VALOR PROPIO

Sea v un vector propio de A asociado a los valores propios λ₁, λ₂: