Fundamentos de Álgebra Lineal: Vectores, Matrices y Espacios Vectoriales

Independencia y Dependencia Lineal

Un conjunto de vectores es Linealmente Independiente (L.I.) si ninguno de los vectores que lo componen puede ser expresado como una combinación lineal de los restantes.

Por el contrario, un conjunto es Linealmente Dependiente (L.D.) si por lo menos uno de los vectores que lo componen puede ser expresado como combinación lineal de los restantes.

Leyes de Composición

Ley de Composición Interna (LCI)

Dado un conjunto A, no vacío, de elementos cualesquiera, la LCI es una operación definida entre dos elementos de dicho conjunto (A y B) y cuyo resultado (C) también pertenece al mismo conjunto.

Ley de Composición Externa (LCE)

Dado un conjunto A, no vacío, de elementos cualesquiera y un conjunto de escalares u operadores, la LCE es una operación definida entre un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto de operadores; el resultado (C) debe pertenecer al primer conjunto (A).

Propiedades y Tipos de Vectores

• Vectores ortogonales: Son aquellos para los cuales el producto interno es 0 (sin ser vectores nulos).
• Norma de un vector: Es la longitud o magnitud del vector.
• Vector normal: Es aquel cuyo módulo es igual a 1.
• Vectores ortonormales: Se da cuando dos vectores son ortogonales y, al mismo tiempo, normales.

Rango de una Matriz

Se denomina rango a un número entero no negativo que está dado por el número máximo de líneas paralelas Linealmente Independientes (L.I.) que tiene una matriz.

El r(A) es un número entero positivo. Si el rango de una matriz es cero, es porque esta no tiene líneas L.I.; por ejemplo, en la matriz nula: r(0) = 0.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Condición necesaria para que un sistema sea compatible

Un sistema de ecuaciones es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada: r(A) = r(A:B).

Sistemas homogéneos

Son aquellos en los cuales los términos independientes son todos cero: A · X = 0.

Solución trivial

Es aquella donde todas las incógnitas son iguales a cero.

Elementos de la Recta

• a (Coeficiente angular): Indica la pendiente o inclinación de la recta.
• b (Ordenada al origen): Representa el punto donde la recta corta al eje "y".

Espacios Vectoriales

Definición de Espacio Vectorial

Para la existencia de un espacio vectorial, deben considerarse dos conjuntos: K y V. El conjunto K se denomina conjunto de escalares y el conjunto V es el conjunto de vectores. El conjunto V será un espacio vectorial sobre K.

Base de un espacio vectorial

Es el conjunto formado por el número máximo de vectores L.I. que generan todo el espacio vectorial.