Fundamentos de Cálculo Diferencial en Varias Variables

Conceptos Fundamentales de Cálculo Multivariable

Límite de una función en un punto

Sea f: C → R^q una función definida en un conjunto C ⊂ R^p y sea a ∈ R^p un punto de acumulación de C. Se dice que L ∈ R^q es el límite de f en el punto a, y lo denotaremos como lim_x→a f(x) = L, si: ∀ ε > 0, &exists; δ > 0 tal que si x ∈ B(a, δ) ∩ C, entonces f(x) ∈ B(L, ε).

Continuidad

Se dice que f es continua en a (siendo a un punto de acumulación de C) si existe el lim_x→a f(x) y se cumple que lim_x→a f(x) = f(a). Si a es un punto aislado de C, se dice por convenio que f es continua en a.

Derivada

Si f es una función real (q=1), se llama derivada de f en a al límite: lim_α→0 [f(a+α) - f(a)] / α = [f(x) - f(a)] / α.

Clase C^r en C

Se dice que f es de clase C^r en C si f posee sus p^r derivadas parciales de orden r (r ≥ 1) en C y estas son continuas en C. Se dice que f es de clase C^r en a ∈ C si es de clase C^r-1 en un entorno de a, posee sus p^r derivadas parciales de orden r (r ≥ 1) en un entorno de a y estas son continuas en a.

Teorema de Schwarz

Sea f: U → R^q una función definida en un abierto U ⊂ R² y sea (a, b) ∈ C. Si f tiene derivadas con respecto a x, con respecto a y y con respecto a ambas en un entorno de (a, b), y la función segunda derivada es continua en (a, b), entonces existe una segunda derivada f_yx(a, b).

Diferenciabilidad

La condición de diferenciabilidad se define mediante el límite: lim_x→a [f(x) - f(a) - df(a)(x - a)] / √(x² + y²) = 0.

Matriz Jacobiana

Si f es diferenciable en a, la matriz jacobiana es la matriz q x p asociada a la aplicación lineal df(a): R^p → R^q en las bases canónicas.

Gradiente

Si f: C → R es una función real definida en un conjunto C ⊂ R^p y es diferenciable en a ∈ C, el gradiente se define por la fórmula: (∂f/∂x₁(a), ..., ∂f/∂x_p(a)).

Función Homogénea

Una función es homogénea de grado α ≠ 0 en C si para cada x ∈ C y cada t > 0 con tx ∈ C, se verifica que f(tx) = t^α f(x).

Demostraciones Teóricas

1. Demostrar que si una función es diferenciable en un punto a, entonces f es continua en a

Demostración: Si f es diferenciable en a ∈ U, entonces:

lim_x→x0 |f(x) - f(x₀) - df(x₀)(x - x₀)| = 0

Por ser df(x₀) una aplicación lineal, es continua y se cumple que df(x₀)(0) = 0; por lo tanto:

lim_x→x0 |df(x₀)(x - x₀)| = 0

De lo cual se deduce que:

lim_x→x0 |f(x) - f(x₀)| = 0 → lim_x→x0 f(x) = f(x₀)

Esto implica que f es continua en a.

2. Demostrar que si una función tiene derivadas en todas las direcciones, entonces tiene derivadas parciales

Demostración: Si existe la derivada direccional D_uf(a) para todo vector v, entonces existe el límite:

&exists; lim_h→0 [f(a + uh) - f(a)] / h para todo u y todo a.

En particular, existirá el límite para los vectores u_i = (0, ..., 1, ..., 0) de la base canónica:

lim_h→0 [f(a + hu_i) - f(a)] / h = lim_h→0 [f(a₁, ..., a_i + h, ..., a_n) - f(a)] / h = ∂f / ∂x_i (a)

Por lo tanto, la existencia de derivadas en todas las direcciones garantiza la existencia de las derivadas parciales.