Fundamentos de Cálculo: Teoremas de Integración y Diferenciabilidad

Teoremas Fundamentales de Integración

Teorema de Integración por Sustitución

Sea f:[a,b] → ℝ una función continua y sea g:[α,β] → [a,b] una función de clase C¹, tal que g(α) = a y g(β) = b. Entonces, se cumple que:

∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ᵅᵝ f(g(t)) · g'(t) dt

Demostración

Sea F una primitiva de f, es decir, F'(x) = f(x). Por la regla de la cadena, tenemos que:

(F ∘ g)'(t) = F'(g(t)) · g'(t) = f(g(t)) · g'(t).

Luego, por el Teorema Fundamental del Cálculo:

∫ᵅᵝ f(g(t)) · g'(t) dt = (F ∘ g)(β) − (F ∘ g)(α).

Como g(α) = a y g(β) = b, entonces:

(F ∘ g)(β) − (F ∘ g)(α) = F(b) − F(a).

Finalmente, aplicando nuevamente el Teorema Fundamental del Cálculo, sabemos que F(b) − F(a) = ∫ₐᵇ f(x) dx. Por lo tanto, queda demostrado que:

∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ᵅᵝ f(g(t)) · g'(t) dt.

Queda demostrado.

Teorema de Integración por Partes

Si f, g:[a,b] → ℝ son funciones con derivada continua, entonces:

∫ₐᵇ f'(x) · g(x) dx = f(b)g(b) − f(a)g(a) − ∫ₐᵇ f(x) · g'(x) dx

Demostración

Consideramos el producto f · g y procedemos a derivarlo:

(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).

Esto implica que f · g es una primitiva de la expresión f' · g + f · g'. Por lo tanto:

∫ₐᵇ (f'(x)g(x) + f(x)g'(x)) dx = [f(x)g(x)]ₐᵇ = f(b)g(b) − f(a)g(a).

Separando la integral, obtenemos:

∫ₐᵇ f'(x)g(x) dx + ∫ₐᵇ f(x)g'(x) dx = f(b)g(b) − f(a)g(a).

Despejando el primer término, concluimos que:

∫ₐᵇ f'(x)g(x) dx = f(b)g(b) − f(a)g(a) − ∫ₐᵇ f(x)g'(x) dx.

Queda demostrado.

Diferenciabilidad y Continuidad en ℝⁿ

Relación entre Continuidad, Derivadas Parciales y Diferenciabilidad

Proposición: Si f: ℝⁿ → ℝ es continua en p y existen todas las derivadas parciales de f en p, entonces f es diferenciable.

Respuesta: Falso.

Contraejemplo: Sea la función f(x,y) definida como:

• f(x,y) = xy / √(x² + y²), si (x,y) ≠ (0,0)
• f(x,y) = 0, si (x,y) = (0,0)

Esta función es continua en (0,0) y existen sus derivadas parciales en (0,0), sin embargo, no es diferenciable en dicho punto.

Teorema: La Diferenciabilidad implica Continuidad

Proposición: Si f: ℝⁿ → ℝ es diferenciable en p, entonces f es continua en p.

Respuesta: Verdadero.

Justificación

Si f: ℝⁿ → ℝ es diferenciable en P, entonces existe su diferencial en P. Por la definición formal de diferenciabilidad:

lim₍ₕ→₀₎ [f(P+h) − f(P) − Df(P)(h)] / ||h|| = 0

Dado que Df(P)(h) es una aplicación lineal, se deduce que:

lim₍ₕ→₀₎ (f(P+h) − f(P)) = 0, lo cual equivale a decir que lim₍ₓ→ₚ₎ f(x) = f(P). Por lo tanto, f es continua en P.

Topología en ℝⁿ

Relación entre Puntos Frontera y Puntos de Acumulación

Proposición: Si p es un punto frontera de un conjunto A ⊂ ℝⁿ, entonces p es un punto de acumulación de A.

Respuesta: Verdadero.

Demostración

Sea p ∈ Fr(A). Por definición de punto frontera, para todo r > 0, se cumple que la bola B(p,r) ∩ A ≠ ∅ y B(p,r) ∩ Aᶜ ≠ ∅.

• Si p ∉ A: Como p ∈ B(p,r) ∩ Aᶜ, se sigue que (B(p,r) \ {p}) ∩ A ≠ ∅.
• Si p ∈ A: Al ser p un punto frontera, no puede ser un punto interior de A; por lo tanto, necesariamente (B(p,r) \ {p}) ∩ A ≠ ∅.

En consecuencia, para todo r > 0, (B(p,r) \ {p}) ∩ A ≠ ∅, lo cual corresponde exactamente a la definición de que p es un punto de acumulación de A. Luego, p es un punto de acumulación de A.

Demostración Adicional: Diferenciabilidad implica Continuidad

Proposición: Si f: ℝⁿ → ℝ es diferenciable en p, entonces f es continua en p.

Respuesta: Verdadero.

Demostración

Sea f: ℝⁿ → ℝ diferenciable en P. Entonces:

lim₍ₕ→₀₎ [f(P+h) − f(P) − Df(P)(h)] / ||h|| = 0

De esto se desprende que: f(P+h) − f(P) = Df(P)(h) + o(||h||). Como Df(P) es una aplicación lineal, se tiene que lim₍ₕ→₀₎ Df(P)(h) = 0 y, además, por definición de notación de Landau, lim₍ₕ→₀₎ o(||h||) = 0.

Por lo tanto, lim₍ₕ→₀₎ (f(P+h) − f(P)) = 0, lo que implica que lim₍ₓ→ₚ₎ f(x) = f(P). Luego, f es continua en P.