Fundamentos de la Cinemática: Componentes de la Velocidad y Aceleración

Componentes intrínsecas de la velocidad y de la aceleración

La trayectoria de una partícula es la curva trazada por el vector de la posición al transcurrir el tiempo t. El vector desplazamiento es tangente a la trayectoria en dt [dr(t) = r(t+dt) - r(t)].

La velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria porque los vectores velocidad y desplazamiento tienen la misma dirección y sentido. La aceleración es el cambio de la velocidad a lo largo del tiempo; como es un vector, puede cambiar tanto en módulo como en dirección.

Tipos de cambios en la velocidad

• Solo cambia el módulo de la velocidad: La dirección de v es constante, lo que resulta en una trayectoria recta. Por tanto, la dirección de dv es igual a la de v. La aceleración es tangente a la trayectoria y su módulo es igual a la derivada con respecto al tiempo del módulo de v.
• Cambio de dirección de la velocidad: El módulo de la velocidad es constante en el tiempo. Como consecuencia, la aceleración es perpendicular al vector v y a la trayectoria.

Movimiento Circular Uniforme (MCU)

Supongamos que la partícula describe un MCU con el módulo de v constante; la dirección de v cambiará continuamente y la aceleración será perpendicular a la trayectoria (dirección radial). Como el vector v tiene dirección tangente a la trayectoria, será siempre perpendicular al radio; el ángulo entre los radios será siempre igual al ángulo que ha girado el vector v. El módulo de la aceleración será a = v²/R.

Cualquier curva en el espacio se puede trocear de manera que cada fragmento se pueda aproximar a un arco de circunferencia con un radio de curvatura (ρ).

Componentes de la aceleración (cambio en módulo y dirección)

• a_T (Aceleración tangencial): Tangente a la ruta, indica el cambio del módulo de la velocidad (a_T = dV/dt).
• a_N (Aceleración normal o centrípeta): Indica el cambio en la dirección de v, dirigida hacia el centro de la curva (a_N = v²/ρ).

El vector aceleración total es: a = a_N + a_T.

Movimiento Circular

En el movimiento circular, ρ = constante y a_N ≠ 0. La trayectoria circular es una trayectoria plana en la que el radio de curvatura ρ y el centro son los mismos en todos los puntos (ρ = R).

Relaciones cinemáticas

• Desplazamiento angular: Mientras la partícula describe un arco de circunferencia s, el radio barre un ángulo φ, cumpliéndose la relación: s = R · φ.
• Velocidad angular (ω): Representa el ángulo barrido por unidad de tiempo en un intervalo infinitesimal (ω = v/R). Dado que ds es el desplazamiento en un tiempo dt, tenemos que v = R · ω.
• Aceleración angular (α): Definida como α = dω/dt, con dirección perpendicular a ω. Su sentido es igual si la derivada es positiva y opuesto si es negativa.

Componentes en el movimiento circular

1. a_T = R · α
2. a_N = ω² · R

Casos particulares

• MRUA (Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado): α = constante, a_T = constante. Ecuaciones: ω = ω₀ + α · t; φ = ω₀ · t + ½α · t².
• MRU (Movimiento Rectilíneo Uniforme): α = 0, a_T = 0 (movimiento periódico).