Fundamentos de Circuitos Eléctricos: Transitorios, Sistemas Trifásicos y Máquinas

Transitorios en Circuitos Eléctricos

Ecuaciones de Primer Grado

• Solución natural: dx/dt + (1/Z)x = 0 → V(t) = k · e^(-t/Z)
• Solución particular: x = constante (aplicable tanto para voltaje v como para corriente i).
• Solución total: Hallar la constante k utilizando el menor valor del intervalo de tiempo t.

Ecuaciones de Segundo Grado

Ecuación diferencial característica: d²x/dt² + 2α dx/dt + ω² x = 0

Solución Natural según el Amortiguamiento:

• Sobreamortiguamiento (α > ω): x(t) = k₁ · e^s₁t + k₂ · e^s₂t
• Críticamente amortiguada (α = ω): x(t) = k₁ · e^-αt + k₂ · t · e^-αt
• Subamortiguamiento (α < ω): x(t) = B₁ · e^-αt · cos(ω_d · t) + B₂ · e^-αt · sen(ω_d · t)
  • Donde ω_d = (ω² - α²)^1/2

Solución particular: x = constante (para v e i).

Solución total: Hallar las constantes k con el menor valor del intervalo de t.

Sistemas de Corriente Trifásica

Conexiones y Relaciones de Fase

• Conexión Estrella (Y): I_f = I_l ; V_f = V_l / √3
• Conexión Triángulo (Δ): V_f = V_l ; I_f = I_l / √3
• Desfase: Γ_línea = Γ_fase + 30º
• Impedancia: Z_estrella = Z_triángulo / 3

Cálculo de Potencias

• Potencia Activa (P): P = √3 · V_l · I_l · cos α = 3 · V_f · I_f · cos α
• Potencia Reactiva (Q): Q = √3 · V_l · I_l · sen α = 3 · V_f · I_f · sen α
• Potencia Aparente (S): S = √3 · V_l · I_l
• Pérdidas: P_l = 3 · R · I² = 3 · V²/R ; Q_l = 3 · X · I² = 3 · V²/X
• Rendimiento: P_útil = M_útil · n ; P_abs = P

Medición de Potencia (Método de los Vatímetros)

• Sin Neutro (Método de Aron):
  • P = W₁ + W₂
  • Q = √3 (W₁ - W₂)
  • W₁ = V_l · I_l · cos(α - 30º)
• Con Neutro:
  • P = 3 · W₁
  • Q = √3 · W₂
  • W₂ = V_l · I_l · sen(α + 30º)
• Fórmulas Generales:
  • W = Re(V_rs · I*_r)
  • W = V · I · cos(α_v - α_i) = P
  • W = V · I · sen(α_v - α_i) = Q

Máquinas Eléctricas

Leyes Fundamentales y Electromagnetismo

• Ley de Laplace: F = I · L · B
• Inducción Magnética (Densidad de flujo): B = Φ / s (Teslas, T)
• Intensidad de Campo Magnético: H
• Fuerza Magnetomotriz (FMM): F = N · I = Φ · R
• Ley de Ampere: H · L = N · I
• Fuerza Electromotriz (FEM): e = N · dΦ/dt

Balance de Potencia y Transformadores

• Potencia Absorbida: P_abs = V · I = P_útil + P_fe (Foucault e histéresis) + P_cu (R · I²)
• Relación de Transformación (r_t): r_t = E₁/E₂ = N₁/N₂ = V₁/V₂ = I₂/I₁

Motores de Inducción (Asíncronos)

• Velocidad de Sincronismo: n_s = (60 · f) / p
• Deslizamiento (s): s = (n_s - n) / n_s
  • Arranque: s = 1
  • Vacío: s = 0
• Frecuencia Rotórica: f_est · s = f_rot
• Resistencia y Potencia: R = η · L / s ; P_útil = 3 · R₁ · I₂'² ; R_c' = R₂' · (1/s - 1)
• Par Motor: M = P / n
• Regímenes de Funcionamiento:
  • Motor: 0 < s < 1
  • Generador: s < 0
  • Freno a contracorriente: s > 1

Motores de Corriente Continua (C.C.) y Ensayos

• Ecuación de Tensión: V = E + R_i · I_i + 2V_e
• FEM inducida: E = K · Φ · n = K · I_exc · n
• Par Motor (M): M = (E · I_i) / (2πn/60) = k · Φ · I_i
• Constante de la Máquina (K): K = (p/a) · (N_c/60)
• Arranque Estrella-Triángulo: I_arranque(Y) = 1/3 · I_a(Δ)
• Potencia Útil: P_útil = E · I - P_pérdidas
• Parámetros de Cortocircuito:
  • I_1n = S_n / V_1n
  • V_rcc = (R_cc · I_1n) / V_1n
  • V_xcc = (X_cc · I_1n) / V_1n
  • Z_cc = (R_cc² + X_cc²)^1/2 ; I_cc = V_1n / Z_cc
• Caída de Tensión: V₁ = R_cc · I₀ · cos θ + X_cc · I₀ · sen θ + V₂'