Fundamentos de la Ecuación General de Conducción de Calor

Ecuación general de la conducción de calor

La conducción de calor es el mecanismo de transferencia de energía térmica a través de un medio sólido, líquido o gaseoso debido a un gradiente de temperatura. Aunque este fenómeno ocurre en todos los estados de la materia, se aplica principalmente a sólidos, ya que los fluidos suelen ser malos conductores del calor en comparación.

Su estudio se fundamenta en dos pilares esenciales:

• La aplicación de la primera ley de la termodinámica (principio de conservación de la energía).
• La ley de Fourier para la conducción de calor.

Principios termodinámicos aplicados

El primer principio de la termodinámica para una masa de control se define mediante la ecuación:

ΔU = Q - W (1)

Donde:

• U es la energía interna.
• Q es la energía transferida por calor.
• W es la energía transferida por trabajo.

En un proceso donde únicamente se transfiere energía por calor, el trabajo es nulo (W = 0). Si deseamos estudiar la rapidez del proceso, derivamos la ecuación (1) respecto al tiempo, obteniendo:

dU/dt = dQ/dt (2)

Esto indica que la velocidad de cambio de la energía interna es igual a la tasa de transferencia de calor neta.

Balance de energía en un elemento diferencial

Aplicamos esta ecuación sobre una masa de control diferencial en un medio sólido tridimensional con dimensiones dx, dy y dz. Consideramos las siguientes propiedades:

• Densidad: ρ
• Calor específico: c
• Conductividad térmica: k_x, k_y y k_z (que pueden variar según la dirección y la temperatura).

La ecuación general de la conducción se obtiene al realizar el balance de energía sobre este diferencial de masa dm, considerando los calores entrantes y salientes, como se ilustra en la Figura 1.

Figura 1. Flujos de energía entrantes y salientes en un elemento diferencial.

Esta ecuación viene dada por:

representan las tasas de transferencia de calor en las direcciones x, y y z, respectivamente. Estas magnitudes son diferenciales en la ecuación (3) porque atraviesan áreas diferenciales:

• dy · dz para el calor en x.
• dx · dz para el calor en y.
• dx · dy para el calor en z.

Además, Q(x,y,z,t) representa la energía que puede generarse en el seno del material por reacciones químicas, disipación por efecto Joule, entre otros. Asimismo, T(x,y,z,t) representa el campo de temperatura.

Desarrollo de la ecuación de flujo

La ecuación (3) puede reescribirse en términos de los flujos de calor q de la siguiente forma:

En este paso, se han reorganizado los sumandos por conveniencia y se ha desarrollado el término de la energía generada para introducir la tasa de generación de energía por unidad de volumen (q̇_gen). El término de la masa se ha expresado como dm = ρ · dx · dy · dz. Al dividir toda la ecuación entre el volumen diferencial (dx · dy · dz) y emplear la definición de la derivada de una función, la ecuación (4) resulta en:

Integración con la Ley de Fourier

Los flujos de calor se relacionan directamente con la temperatura mediante la ley de Fourier de la siguiente manera:

Esta es la ecuación general de la conducción del calor. Se trata de una ecuación en derivadas parciales que debe resolverse considerando las condiciones de contorno e iniciales pertinentes para cada caso de estudio.