Fundamentos de Electrostática y Electrodinámica: Conceptos, Leyes y Fórmulas

1. Electrostática

Atracción electrostática: Todo objeto posee una cantidad normal de electricidad. Cuando dos objetos están próximos, la carga eléctrica se transfiere de uno a otro (exceso o defecto).

Ley de Coulomb

La fuerza ejercida entre dos cargas puntuales está dirigida a lo largo de la línea que las une. Se repelen si son del mismo signo y se atrayen si son de signos opuestos.

Campo eléctrico

Vector que describe el espacio creado por un sistema de cargas puntuales. Las líneas de campo eléctrico indican la trayectoria que seguiría una partícula positiva si se abandonara libremente bajo la fuerza del campo (positivas).

• Distribución de carga y dipolo eléctrico: Sistema de dos cargas iguales y opuestas separadas por una distancia "l".
• Carga puntual positiva: Mapa de líneas radiales.
• Distribuciones continuas.

Flujo eléctrico y Ley de Gauss

El número neto de líneas de campo que salen de una superficie que encierra una carga es proporcional a la carga encerrada dentro de dicha superficie.

• En un dipolo encerrado en una superficie de forma arbitraria: número de líneas de campo que salen = entran.
• $$\Phi = E \cdot A$$
• $$\Phi = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}$$

Ángulo Sólido

Es la proyección de una superficie atravesada en dirección del campo eléctrico ($E$). Se mide en estereorradianes y es el mismo para toda superficie que corta un cono dado. Apertura máxima: $0 = 4\pi$.

• Plano: $Q = \int \sigma dS$
• Cilindro: $Q_{\text{enc}} = \int \rho dV = \rho \pi R^2 L$
• Esfera: $Q = \int \rho dV = \frac{4}{3} \pi R^3$

Potencial Eléctrico ($V_b - V_a$)

Trabajo por unidad de carga con cambio de signo que realiza el campo eléctrico cuando una carga testigo se desplaza desde el punto $a$ hasta el punto $b$.

$$V = \int \frac{dq}{4\pi \varepsilon_0 r}$$

Superficies Equipotenciales

El campo eléctrico dentro de un conductor es nulo; por lo tanto, la variación de potencial en el interior de un punto a otro es 0. El potencial eléctrico es el mismo en todo el conductor.

Energía Potencial Electrostática

En una distribución de cargas, es el trabajo invertido en transportar dichas cargas desde posiciones muy distantes hasta sus posiciones finales.

$$U = \frac{1}{2} \int dq \cdot V$$

Capacidad y Condensadores

$$C = \frac{Q}{\Delta V}$$

Condensador: Dispositivo formado por dos conductores que adquieren cargas de igual magnitud y signos opuestos.

• Plano: $C = \frac{\varepsilon_0 \cdot A}{d}$ | $V = \frac{Q \cdot d}{\varepsilon_0 \cdot A}$
• Esférico: $\Delta V = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$ | $C = 4\pi \varepsilon_0 \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$
• Cilíndrico: $C = \frac{2\pi \varepsilon_0 l}{\ln(r_2/R_1)}$ | $V = \frac{Q \ln(r_2/r_1)}{2\pi \varepsilon_0 l}$

Asociación de Condensadores

• Paralelo: $\Delta V_{\text{eq}} = \Delta V_1 = \Delta V_2$ | $C_{\text{eq}} = C_1 + C_2$
• Serie: $Q_1 = Q_2 = Q_{\text{eq}}$ | $\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$

Dieléctricos

Materiales que no son conductores y no disponen de portadores de carga libres. Debilitan el campo eléctrico entre las placas conductoras porque sus moléculas producen un campo eléctrico en sentido opuesto, debido al momento dipolar eléctrico de las moléculas del dieléctrico.

2. Electrodinámica

Intensidad de Corriente Eléctrica

Flujo neto de carga que atraviesa la sección transversal de un conductor por unidad de tiempo.

$$I = \frac{dq}{dt} = n \cdot q \cdot v \cdot A$$

Se mide en amperios ($\text{A} = \text{C/s}$).

Los electrones, en ausencia de efectos externos, se mueven aleatoriamente. Al conectarse a un generador, se someten a un campo eléctrico que los acelera en sentido opuesto. La energía cinética que adquieren se pierde en choques con los iones de la red metálica, aunque adquieren cierta velocidad de desplazamiento en sentido opuesto al campo eléctrico.

Densidad de Corriente

Magnitud vectorial que mide la unidad de corriente por unidad de superficie.

$$J = n \cdot q \cdot v = \frac{I}{A}$$

Ley de Ohm y Resistencia

Cociente entre la caída de potencial en el sentido de la corriente y la intensidad de corriente que circula por él.

$$\Delta V = I \cdot R \quad (\Omega)$$

En un cable, la resistencia es proporcional a su longitud:

$$R = \rho \frac{L}{A}$$

Efecto Joule

Las colisiones con los iones convierten la energía de choque en energía térmica.

• Tomando un pequeño volumen: $dQ = nq \cdot dv$; $E dq = n dE dv$
• $dW = F \cdot dl = n \cdot q \cdot E \cdot dV \cdot v \cdot dt = E \cdot J \cdot dv \cdot dt$
• $\frac{dW}{dt \cdot dv} = n \cdot q \cdot v \cdot E = E \cdot J$
• $\text{Potencia} = \frac{dw}{dt} = J \cdot E$
• $\text{Potencia} = \int J \cdot E \cdot dv = \int \frac{I}{A} \cdot \frac{\Delta V}{l} \cdot dV = I \cdot \Delta V$
• $P = I \cdot \Delta V$
• Potencia consumida por una resistencia: $P = I^2 \cdot R$

Generadores y Receptores de Corriente

• Generador: Transforma energía química o mecánica en eléctrica. $\eta = \frac{I \cdot \varepsilon}{I \cdot \varepsilon + I^2 \cdot r}$
• Receptor: $\eta = \frac{I \cdot \varepsilon - I^2 \cdot r}{I \cdot \varepsilon}$

Leyes de Kirchhoff

1. Primera Ley (Ley de nudos): En un nudo de un circuito, la suma de las corrientes entrantes es igual a la suma de las corrientes salientes.
2. Segunda Ley (Ley de mallas): La suma de las variaciones de potencial a lo largo de una malla debe ser igual a 0.
3. Tercera Ley: La diferencia de potencial entre nudos de un circuito es la suma algebraica de las fuerzas electromotrices (fems) y las caídas de tensión en las resistencias presentes en dichos nudos.

Instrumentos de Medición

• Voltímetro: Mide la diferencia de potencial colocándose en paralelo. La resistencia debe ser muy alta (en serie con el galvanómetro).
• Amperímetro: Mide la intensidad de corriente colocándose en serie. La resistencia debe ser muy baja (en paralelo con el galvanómetro).
• Óhmetro: Galvanómetro en serie con un generador y una resistencia. La resistencia $R_s$ se elige de forma que al cortocircuitar los terminales $a$ y $b$ del interruptor a través del galvanómetro se produzca una deflexión de fondo de escala. Si los terminales $a$ y $b$ están abiertos, no hay corriente; si se inserta una resistencia, la desviación será intermedia y debidamente calibrada, estableciendo la magnitud correspondiente.