Fundamentos de Estadística Descriptiva y Modelos de Regresión Lineal

Fórmulas Fundamentales y Representaciones Gráficas

A continuación se detallan las fórmulas básicas para el tratamiento de datos estadísticos:

• Frecuencia relativa: f_i = n_i / N
• Marca de clase: x_i = (L_i-1 + L_i) / 2
• Amplitud: a_i = L_i - L_i-1
• Densidad de frecuencia: d_i = n_i / a_i o f_i / a_i

Tipos de Representaciones según la Variable

• Variable Continua:
  • Misma amplitud: Se utiliza el Histograma.
  • Distinta amplitud: Se utiliza el Gráfico de dispersión (basado en la marca de clase y la densidad).
• Variable Nominal: Se recomienda el Diagrama de sectores o el Gráfico de barras.
• Variable Ordinal: Se utiliza el Diagrama de barras (es necesario seleccionar los datos si estos son representados por números).

Medidas de Tendencia Central según el Tipo de Variable

• Variable Nominal (VN): Se calcula la Moda (Mo).
• Variable Ordinal (VO): Se calculan la Moda (Mo), la Mediana (Me) y los Cuartiles.
• Variable Continua/Cuantitativa (VC): Se calculan la Moda (Mo), la Mediana (Me), los Cuartiles y la Media.

Medidas de Dispersión y Recorridos

Tipos de Recorridos

• Recorrido muestral: R_e = X_k - X₁
• Recorrido intercuartílico: R_i = C₃ - C₁
• Recorrido decil: R_d = D₉ - D₁
• Recorrido percentil: R_p = P₉₉ - P₁

Cálculo de Variabilidad y Dispersión Relativa

• Para determinar la variabilidad, se debe calcular la Desviación Típica (S).
• Recorrido relativo: R_r = R_e / X_max (esta medida no tiene unidades).
• Recorrido semi-intercuartílico: R_si = (C₃ - C₁) / (C₃ + C₁)
• Coeficiente de Variación (CV): CV = S / media.
  • Si CV < 0,2 (20%), la dispersión relativa es baja y la media resulta representativa.

Forma de la Distribución: Asimetría y Curtosis

Coeficiente de Asimetría de Fisher (CAF)

• CAF > 0: Asimetría positiva.
• CAF = 0: Distribución simétrica.
• CAF < 0: Asimetría negativa.

Curtosis (CK)

• CK > 0: Leptocurtosis.
• CK = 0: Mesocurtosis.
• CK < 0: Platicurtosis.

Estadística Bivariante y Regresión Lineal

Perfiles y Frecuencias

• Perfil columna (X|Y): El 100% se sitúa en la fila.
• Perfil fila (Y|X): El 100% se sitúa en la columna.
• Interpretación: Donde se encuentra el 100% se considera el total. Donde no, se refiere a la frecuencia marginal absoluta de: X (n_i.) en columnas o Y (n_.j) en filas.

Modelo de Regresión Lineal

La ecuación de la recta es Y = a + bx, donde:

• a: Ordenada en el origen.
• b: Coeficiente de regresión (pendiente).

Residuo o error (e_i): e_i = y_i - ŷ_i, donde y_i es el valor observado y ŷ_i es el valor teórico (sustituyendo en la recta).

• Gráfico de residuos: Es un gráfico de dispersión que enfrenta los valores teóricos (ŷ) con los errores (e_i). Si se observa un patrón, existe otro modelo más adecuado.

Bondad de Ajuste (R²)

• R² = 1: Ajuste perfecto.
• R² = 0: Ajuste pésimo.
• Cuanto más próximo sea R² a 1, mayor será la bondad de ajuste (nota: el texto original mencionaba proximidad a 0, pero técnicamente la bondad aumenta al acercarse a 1).

Fiabilidad de la Predicción

• Interpolación: Predicción de un valor dentro del rango observado.
• Extrapolación: Predicción de un valor fuera del rango observado.
• Predicción fiable: Se da con un R² alto y mediante interpolación.
• Predicción poco fiable: Se da con un R² bajo o mediante extrapolación.

Diagrama de Cajas y Bigotes (Boxplot)

Para la detección de valores atípicos y extremos:

• Extremos inferiores: C₁ - 3R_i
• Atípicos inferiores: C₁ - 1,5R_i
• Extremos superiores: C₃ + 3R_i
• Atípicos superiores: C₃ + 1,5R_i

Variables Independientes

Se consideran variables independientes cuando se cumple que: f_i · f_j = f; el perfil de fila es igual al marginal de Y, y el perfil de columna es igual al marginal de X.