Fundamentos de Funciones Matemáticas: Polinómicas, Racionales, Exponenciales y Trigonométricas

Introducción a las Funciones Polinómicas

Las funciones polinómicas son aquellas que se pueden expresar como la suma de potencias de la variable multiplicadas por coeficientes, como f(x) = a₀ + a₁x + ... + aₙxⁿ. Su dominio es todo el conjunto de los números reales y son continuas.

Funciones Lineales y Cuadráticas

• Funciones lineales: Tienen la forma f(x) = ax + b. Su pendiente (a) determina si la función es creciente (a > 0) o decreciente (a < 0), y su ordenada en el origen (b) indica el punto donde corta al eje Y, mientras que el corte con el eje X se obtiene resolviendo ax + b = 0.
• Funciones cuadráticas: De la forma f(x) = ax² + bx + c, generan parábolas que abren hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0. Su vértice se calcula con xᵥ = -b / 2a y yᵥ = f(xᵥ).

Funciones Racionales

Las funciones racionales son cocientes de polinomios, f(x) = P(x) / Q(x), y no están definidas en los valores que anulan el denominador, lo que determina su dominio. Estas funciones pueden presentar:

• Asíntotas verticales: Donde el denominador es cero.
• Asíntotas horizontales: Dependen del grado de los polinomios:
  • Si el grado del numerador es menor que el del denominador, la asíntota horizontal es y = 0.
  • Si los grados son iguales, es el cociente de los coeficientes principales.
  • Si el numerador tiene mayor grado, no existe asíntota horizontal.

Un caso especial es la proporcionalidad inversa (f(x) = k / x), cuya gráfica es una hipérbola con asíntotas vertical y horizontal en x = 0 y y = 0, siendo creciente si k < 0 y decreciente si k > 0.

Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Funciones Exponenciales

Tienen la forma f(x) = aˣ, con a > 0 y a ≠ 1, y su dominio abarca todos los números reales. Siempre pasan por el punto (0, 1) y tienen asíntota horizontal en y = 0. Son crecientes si la base a > 1 y decrecientes si 0 < a < 1.

Funciones Logarítmicas

Las funciones logarítmicas, f(x) = logₐ(x), son la inversa de las exponenciales; solo existen para x > 0 y tienen asíntota vertical en x = 0. Pasan por el punto (1, 0) y su comportamiento depende también de la base: creciente si a > 1, decreciente si 0 < a < 1. Además, logₐ(x) = y significa que aʸ = x.

Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas presentan comportamientos periódicos:

• Seno y Coseno: f(x) = sin(x) y f(x) = cos(x) están definidas para todos los números reales, tienen recorrido [-1, 1] y periodo 2π.
• Tangente: f(x) = tan(x) = sin(x) / cos(x). No existe en los valores donde el coseno es cero, es decir, x = π/2 + kπ, generando así asíntotas verticales en esos puntos; su periodo es π y su recorrido es todo ℝ.