Fundamentos de Inferencia Estadística: Distribuciones Muestrales, Estimadores y Contrastes de Hipótesis

Distribuciones Muestrales Fundamentales

Distribución Chi-cuadrado (χ²)

Sea $Z \sim N(0,1)$. Se define una variable Chi-cuadrado ($\\chi^2$) con 1 grado de libertad como una normal tipificada elevada al cuadrado ($Z^2$).

Sean $n$ variables aleatorias independientes $X_1, X_2, \dots, X_n$ distribuidas mediante una $N(0,1)$, la suma de sus cuadrados define una distribución Chi-cuadrado con $n$ grados de libertad:

$$\chi^2_n = \sum_{i=1}^{n} X_i^2$$

Distribución t de Student

Sean las variables aleatorias independientes $Z, X_1, \dots, X_n$, idénticamente distribuidas según una $N(0,1)$. Una t de Student con $n$ grados de libertad se define como el cociente entre una normal tipificada y la raíz cuadrada de una Chi-cuadrado dividida por sus grados de libertad:

$$t_n = \frac{Z}{\sqrt{\frac{\chi^2_n}{n}}}$$

Distribución F de Snedecor

Sean $n$ variables independientes e idénticamente distribuidas $X_1, \dots, X_n \sim N(0,1)$ y sean $m$ variables independientes e idénticamente distribuidas $Y_1, \dots, Y_m \sim N(0,1)$. Se define una F de Snedecor como el cociente entre dos variables Chi-cuadrado divididas respectivamente por sus correspondientes grados de libertad:

$$F_{n,m} = \frac{\frac{\chi^2_n}{n}}{\frac{\chi^2_m}{m}}$$

Propiedades Deseables de los Estimadores

Sea $X$ una población caracterizada por un parámetro poblacional desconocido $\theta$, y sea $X_1, \dots, X_n$ una muestra aleatoria simple extraída de dicha población.

Insesgadez

Se dice que un estimador $\hat{\theta}$ es insesgado o centrado cuando el valor esperado del estimador coincide exactamente con el parámetro que estima:

$$E(\hat{\theta}) = \theta$$

Si no ocurre esto, se dice que el estimador es sesgado.

Eficiencia

Se dice que un estimador $\hat{\theta}$ es eficiente si cumple dos condiciones:

• Es insesgado ($E(\hat{\theta}) = \theta$).
• Posee la mínima varianza posible frente a otros estimadores insesgados.

Para demostrar la mínima varianza se utiliza habitualmente la Cota de Fréchet-Cramér-Rao (FCR).

Consistencia

Se dice que un estimador es consistente cuando converge en probabilidad a su valor verdadero a medida que el tamaño muestral tiende a infinito ($n \to \infty$). Para demostrar formalmente si un estimador insesgado es consistente, se recurre con frecuencia a la desigualdad de Chebyshev.

Suficiencia

Se dice que un estimador es suficiente si aprovecha y resume toda la información disponible en la muestra respecto al parámetro de interés. Para verificar si un estimador es suficiente se emplea el Teorema de Factorización de Fisher-Neyman: si la función de verosimilitud se puede descomponer en el producto de dos funciones —donde una de ellas solo depende de los datos muestrales y la otra depende del parámetro desconocido a través del propio estimador—, entonces el estimador es suficiente.

Contrastes de Hipótesis

Una hipótesis estadística es una afirmación o conjetura formulada acerca de un parámetro poblacional desconocido. Para contrastarla se establecen dos hipótesis rivales:

1. Hipótesis nula ($H_0$): es la hipótesis que se somete a prueba o contraste experimental.
2. Hipótesis alternativa ($H_1$): es la hipótesis que formula la sospecha o duda frente a $H_0$; representa una negación total o parcial de la hipótesis nula.

Tipos de Error en el Contraste

Al tomar una decisión estadística se pueden cometer dos tipos de error, los cuales se procura que sean lo más pequeños posible:

• Error de tipo I: es el error cometido al rechazar la hipótesis nula ($H_0$) cuando en realidad es verdadera.
• Error de tipo II: es el error cometido al aceptar o no rechazar la hipótesis nula ($H_0$) cuando en realidad es falsa.

Pruebas de Bondad de Ajuste

Prueba de Bondad de Ajuste Chi-cuadrado

• Se puede emplear tanto en distribuciones discretas como continuas.
• Presenta un mejor comportamiento en muestras de tamaño grande.
• Admite la utilización de datos agrupados en intervalos o clases.
• Permite la estimación de parámetros poblacionales a partir de los datos muestrales.
• Condición de validez: las frecuencias esperadas ($E_i$) deben ser mayores a 5 ($E_i \ge 5$).

Prueba de Bondad de Ajuste de Kolmogorov-Smirnov (K-S)

• Solo se puede utilizar para variables con distribuciones continuas.
• Resulta conveniente y precisa en muestras pequeñas.
• No admite datos agrupados en intervalos.
• No permite estimar parámetros con los datos de la muestra (la distribución teórica debe estar completamente especificada).