Fundamentos de Inferencia Estadística: Hipótesis, Estimadores y Muestreo

Conceptos Fundamentales de Inferencia Estadística

Contraste de Hipótesis

• H₀ (Hipótesis Nula): Lo que se acepta como verdadero y es sometido a comprobación experimental, intentando evaluar si la muestra aporta evidencia para rechazarla.
• H₁ (Hipótesis Alternativa): Hipótesis contraria a la nula.
• Región de aceptación: Conjunto complementario de muestras para las cuales el estadístico toma valores con los que se acepta la hipótesis nula.
• Región crítica: Conjunto de muestras para las cuales el estadístico toma valores para los que se rechaza la hipótesis nula.

Fases de un contraste de hipótesis

1. Formular H₀ y H₁.
2. Determinar el estadístico.
3. Seleccionar el nivel de significación.
4. Determinar la función crítica o de rechazo.
5. Calcular el valor del estadístico.
6. Decisión e interpretación.

Distribución y Muestreo

• Función de distribución empírica: Se considera una población con una distribución F(x), siendo Xn los valores observados de una muestra aleatoria simple, y designamos por N(x) el número de valores observados menores o iguales que X.
• Muestra aleatoria simple: Si las variables aleatorias son independientes y tienen la misma función de distribución que la de la población, entonces las variables aleatorias forman un conjunto de variables idénticamente distribuidas que constituyen una muestra de tamaño n.

Propiedades de los Estimadores

1. Insesgadez: El estadístico θ̂ es un estimador insesgado del parámetro θ si la esperanza matemática del estimador E[θ̂] es igual al parámetro θ.
2. Eficiencia: Un estimador θ̂ del parámetro θ es eficiente si es insesgado y si su varianza alcanza la cota de Fréchet-Cramér.
3. Suficiencia: Un parámetro es suficiente si la distribución condicionada de X₁...Xn dado el valor del estadístico T=t, no coincide con el parámetro θ.
4. Consistencia: Una sucesión será consistente si la sucesión converge en probabilidad hacia el parámetro θ.

Método de los Momentos

Consiste en igualar tantos momentos muestrales como parámetros haya que estimar, a los correspondientes momentos poblacionales, que son funciones de los parámetros desconocidos.

Propiedades del método:

• Insesgadez: Si los parámetros desconocidos que pretendemos estimar son momentos poblacionales respecto al origen, los estimadores obtenidos serán insesgados.
• Consistencia: Bajo condiciones bastante generales, los estimadores obtenidos por este método son consistentes.
• Normalidad asintótica: Si los parámetros desconocidos que pretendemos estimar son los momentos poblacionales, los estimadores obtenidos serán asintóticamente normales.