Fundamentos de Investigación Operativa: Programación Lineal, Colas e Inventarios

Conceptos de Programación Lineal y Sensibilidad

• Función objetivo: Cambia la rentabilidad o el costo de las variables.
• Restricción: Cambia la disponibilidad de los recursos.
• Shadow Price (Precio Sombra): Representa el costo de oportunidad, el beneficio marginal o la disposición a pagar. Cuando es 0, sobra recurso; cuando es > 0, indica cuánto se pagaría por una unidad adicional.
• Slope (Pendiente):
  • En la función objetivo: Es la cantidad a producir (unidades).
  • En las restricciones: Es la disponibilidad de recursos (por cada unidad que baja el recurso, la utilidad baja según el slope).
• Reduced Cost (Costo Reducido): Indica cuánto tiene que mejorar la ganancia de una variable para que sea rentable producirla. Se produce cuando es igual a cero; si es < 0, no es rentable.
• Allowable RHS (Lado Derecho Permisible): Rango donde los cambios no alteran la solución óptima.
  • (Allow min; Allow max): Valor comprendido; el mismo mix de variables cambia el beneficio total.
  • [Allow min; Allow max]: Coincide con el valor de extremo; existen dos o más soluciones alternativas.
  • <- Allow min; Allow max ->: Cambia toda la estructura de la solución.
• Slack (Holgura):
  • En Demanda mínima: Es el exceso de demanda.
  • En Demanda máxima: Es la demanda insatisfecha.
  • Max <= Slack: Recursos que sobran en una restricción.
• Surplus (Excedente): Min >= Surplus. Excede el mínimo requerido. Si es igual a 0, el recurso está saturado y el shadow price muestra cuánto se pagaría por una unidad adicional.

Transporte y Distribución

• Demand (Demanda): Embarques requeridos (cantidad de productos y ciudades destino).
• Supply (Suministro): Embarques a despachar (capacidad de planta y puntos de distribución). El unused supply representa la capacidad ociosa.
• Reduced Cost (en transporte): Cuánto cambia el Costo Total (CT). Si es 0 es óptimo, > 0 no conviene, < 0 conviene.
• Range of Optimal: Basado en el reduced cost; indica cuánto tengo que bajar el precio para considerar una ruta de distribución.
• Range of Feasibility: Basado en el shadow price; indica cuánto varía el precio por cada embarque adicional.

Teoría de Colas (Sistemas de Espera)

• y (λ): Tasa de arribos (clientes/hora).
• ta: 1/y (Tiempo promedio de arribos consecutivos) en min/cliente.
• u (μ): Tasa de salidas (clientes/hora).
• ts: 1/u (Tiempo promedio de salidas consecutivas) en min/cliente.
• Condición de estabilidad: [ y < u ; ta > ts ]
• p (ρ): y/u < 1 (Factor de utilización o tráfico).
• p0: 1 - p (Factor de tiempo ocioso o probabilidad de que el sistema esté vacío).
• W: 1 / (u - y) (Tiempo de espera promedio en el sistema).
• Wc (Wq): p / (u - y) = W * p (Tiempo promedio de espera en fila).
• L: p / (1 - p) (Cantidad promedio de clientes en el sistema).
• Lc (Lq): p² / (1 - p) (Cantidad promedio de clientes en fila).
• CT: cs * k + cw * L (Costo total de operación de un sistema).
• cs: Costo de servicio operativo.
• cw: Costo de espera.
• k: Cantidad de canales (k = 1).

Probabilidades en el Sistema

• pn > 2: p² (Probabilidad de que haya cola).
• pn: pⁿ * p0 (Probabilidad de que haya exactamente n clientes).
• pn > n: pⁿ (Probabilidad de que haya n o más clientes).
• pn < n: 1 - pⁿ⁺¹ (Probabilidad de que haya n o menos clientes).
• p(4 < n < 8): p⁴ - p⁹.

Gestión de Inventarios

Variables y Parámetros

• D: Demanda (unidades/mes).
• d: Demanda diaria (unidades/día).
• b: Costo de adquisición o fabricación ($/unidad).
• C1: Costo de almacenamiento ($/unidad·mes). C1 = C1* + (b * i).
• C1*: Costo operativo de almacenamiento.
• K: Costo de emisión o preparación ($/lote).
• C2: Costo de agotamiento ($/unidad·mes).
• CTE: Costo Total Esperado (Fabricar + Pedir + Almacenar).
• Lt: Tiempo de reaprovisionamiento (Lead Time en días).
• Pp: Punto de pedido o stock de reposición (unidades).
• Sp: Stock de seguridad (unidades).
• n: Cantidad de pedidos por año.
• q₀: Lote óptimo de compra.
• t: Tiempo entre órdenes.
• Smax: Stock máximo.
• p: Capacidad o tasa de producción (p > d evita el quiebre de stock).
• Precios variables: q / b / D / k / C1 / q0 / qajust (cuando n es mayor al allowable max).
• Beneficio: (p * q) + (Cf + Cv * q).

Modelos de Inventario

• Básico: Lote óptimo con demanda constante.
• Seguridad: Nivel de servicio, protección ante la incertidumbre y Lt variable.
• Agotamiento: Permite faltantes, pedidos pendientes o backorders.
• Reposición: Tasa de fabricación o producción según capacidad.
• Precios variables: Descuentos por cantidad, bonificaciones o cambios de precio según volumen.

Teoría de la Decisión

Criterios de Decisión bajo Incertidumbre

• Optimismo (Maximax): De los mejores resultados, se elige el mejor según las alternativas.
• Pesimismo (Maximin): De los peores resultados, se elige el mejor (Criterio de Wald).
• Hurwicz: (Mejor resultado * α) + (Peor resultado * (1 - α)) para cada alternativa.
• LaPlace: Se asume que todos los futuros tienen igual probabilidad de ocurrencia. (Suma de resultados de cada alternativa) * probabilidad.
• Savage (Arrepentimiento): (Mayor valor de la columna - los otros valores). Se seleccionan los mayores costos de oportunidad (CO) y se elige el menor de ellos.

Criterios bajo Riesgo e Información

• Información Perfecta: Mejor valor de cada alternativa multiplicado por su probabilidad.
• VME (Valor Monetario Esperado): Σ(resultado * probabilidad) o Σ(costo * probabilidad).
• GEIP (Ganancia Esperada con Información Perfecta): Σ(valor máximo futuro) * probabilidad.
• CEIP (Costo Esperado con Información Perfecta): Σ(mínimo de la columna) * probabilidad.
• VEIP (Valor de la Información Perfecta):
  • VEIP = GEIP − VME óptimo
  • VEIP = VME óptimo − CEIP
• Bayes: Combina la información a priori con información adicional para obtener una probabilidad a posteriori.

Pasos para el Análisis Bayesiano

1. Matriz a priori: Probabilidades iniciales.
2. Matriz de confianza: Probabilidades del enunciado (pf1, pf2, pf3) que deben sumar 1.
3. Matriz de probabilidad conjunta: (Probabilidad a priori * Confiabilidad) = Total conjunta.
4. Matriz a posteriori: (Probabilidad conjunta / Probabilidad conjunta total).
5. Valores monetarios: Valores iniciales multiplicados por la probabilidad a posteriori.
6. Matriz de valores esperados: (Mejor valor * Probabilidad conjunta total) = GEIM (Ganancia Esperada con Información de Muestreo).
7. VEIM (Valor de la Información de Muestreo): VEIM = GEIM - VME.