Fundamentos de Lugares Geométricos y Geometría en el Espacio

Lugares Geométricos (LG)

Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen con una condición o propiedad determinada. Todos los puntos del LG cumplen con dicha condición y todos los puntos fuera del LG no la cumplen.

Ejemplos fundamentales

• Circunferencia (Cfa): Dado un punto C del plano, el LG de todos los puntos del plano que equidistan de dicho punto es una circunferencia. El punto fijo se denomina centro de la circunferencia y la distancia es el radio.
• Mediatriz (Mz): Es la recta perpendicular a un segmento en su punto medio. Es el LG de los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos A y B.
• Bisectriz (Bz): Es la semirrecta interior a un ángulo que lo divide en dos ángulos iguales. El LG de los puntos del plano que equidistan de dos semirrectas es la bisectriz del ángulo que las rectas determinan.
• Arco Capaz (AC): Dado un segmento AB y un ángulo α, el LG de los puntos del plano que "ven" al segmento AB bajo un ángulo constante α es un arco de circunferencia denominado arco capaz para dicho segmento y dicho ángulo.

Axiomas de la Geometría en el Espacio

• Axioma de incidencia: Dados tres puntos no alineados, existe y es único el plano al que pertenecen.
• Axioma de inclusión: Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano, entonces la recta está incluida en el plano.

Determinación de Planos

1. Recta y punto exterior: Dada una recta r y un punto P exterior a ella, existe y es único el plano que los contiene. Demostración: Sean A, B ∈ r. Como P ∉ r, entonces A, B, P no están alineados. Por el axioma de incidencia, existe y es único α tal que A, B ∈ α y P ∈ α. Como A, B ∈ α, por el axioma de inclusión, r ⊂ α.
2. Dos rectas secantes: Dadas dos rectas secantes r y s, existe y es único el plano que las incluye. Demostración: Sea Q = r ∩ s, donde Q ∈ r y Q ∈ s. Sea P ∈ r tal que P ≠ Q, entonces P ∉ s. Tenemos la recta s y un punto P exterior a ella, por lo que existe un único plano α tal que s ⊂ α y P ∈ α. Como P ∈ α y Q ∈ α, entonces la recta (PQ) ⊂ α, por lo tanto r ⊂ α.
3. Dos rectas paralelas: Dos rectas paralelas disjuntas determinan un plano que las contiene (r ∩ s = ∅). Demostración: Por definición, las rectas paralelas son coplanares. Además, sea P ∈ r, entonces P ∉ s, existe un único plano α tal que P ∈ α y s ⊂ α. Si se elige otro punto, sucede lo mismo, por lo que Q ∈ r implica Q ∈ α, resultando en r ⊂ α.

Existencia de Rectas no Coplanares

Existen pares de rectas tales que ningún plano las incluye (rectas alabeadas). Si suponemos que existe un plano β que incluye a dos rectas alabeadas, se llega a una contradicción geométrica, por lo que es absurdo. Por lo tanto, no existe un plano que incluya a ambas rectas.

Posiciones Relativas de dos Rectas en el Espacio

• Rectas coplanares:
  • Secantes: r ∩ s = P
  • Paralelas: r ∩ s = ∅
  • Coincidentes: r ∩ s = r
• Rectas no coplanares:
  • Alabeadas: r ∩ s = ∅

Intersección de Planos

Si dos planos distintos α y β tienen dos puntos en común, su intersección es la recta que ellos determinan. Demostración: Si P ∈ α, Q ∈ α y P ∈ β, Q ∈ β, entonces la recta PQ está contenida en ambos planos, por lo tanto α ∩ β = r.