Fundamentos de Matrices: Definiciones, Operaciones y Propiedades

Definición de Matriz

Una matriz es un cuadro rectangular de números formado por m filas y n columnas. Los números que componen el cuadro son llamados elementos de la matriz.

Tipos de Matrices

a) Atendiendo a su forma

• Matriz fila: Es aquella que tiene una sola fila. También es llamada vector fila, ya que representa vectores.
• Matriz columna: Es aquella que tiene una sola columna, la cual recibe el nombre de vector columna.
• Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas.
• Matriz transpuesta: Es aquella que resulta de intercambiar las filas por las columnas de una matriz original.

b) Atendiendo a sus elementos

• Matriz nula: Es aquella en la cual todos sus elementos son cero. Se representa por 0 y también se le llama matriz cero.
• Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son nulos.
• Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con todos los elementos de la diagonal principal iguales a uno.
• Matriz triangular: Es una matriz cuadrada en la que todos los términos situados por encima (o por debajo) de la diagonal principal son nulos.

Operaciones con Matrices

Suma y resta de matrices

Para sumar o restar matrices, estas deben tener el mismo número de filas y de columnas (mismo orden). Por ejemplo, si una matriz es de orden 3x2 y otra de 3x3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se operan los términos que ocupan el mismo lugar en ambas matrices.

Multiplicación de matrices

Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

Propiedades del producto:

• Asociativa: A × (B × C) = (A × B) × C
• Elemento neutro: A × I = A (donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz).
• No es conmutativa: A × B ≠ B × A
• Distributiva del producto respecto de la suma: A × (B + C) = (A × B) + (A × C)

Determinantes

El determinante de una matriz cuadrada de segundo orden es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

Propiedades de los determinantes

1. Propiedad de línea nula: Si todos los elementos de una línea (fila o columna) son cero, el determinante es 0.
2. Igualdad de líneas o columnas: Si dos filas o columnas son iguales, el determinante es 0.