Fundamentos de Mecánica de Sólidos: Formulación Fuerte, Débil y Modelado Numérico

Formulación Fuerte y Débil en Sólidos Elásticos

La formulación fuerte en un sólido elástico B se expresa mediante las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales del equilibrio para cualquier punto x ∈ B, acompañadas de las condiciones de contorno naturales y esenciales. Estas ecuaciones en 3D toman, en general, la forma ∇σ + q = 0, que, expresadas en función del campo incógnita de desplazamientos u(x), incluyen derivadas segundas de los mismos.

La formulación débil se obtiene mediante la ponderación de la ecuación anterior con un campo arbitrario η(x), integrando en el dominio B y transformando esta integral mediante integración por partes o el teorema de Gauss. La ecuación resultante es:

-∫σ∇η dV + ∫ηt dS + ∫ηq dV = 0

Además de las condiciones de contorno (c.c.) esenciales, esta expresión representa una ecuación global para el conjunto del modelo, donde las c.c. naturales quedan englobadas y solo se incluyen derivadas primeras del campo incógnita u(x).

Diferencias conceptuales

• Físicamente: La formulación fuerte expresa el equilibrio en cada punto, mientras que la formulación débil representa el Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) a nivel global.
• Precisión: Ambas son expresiones exactas del problema de equilibrio.
• Solución numérica: Para el método de elementos finitos, se parte de la formulación débil, ya que admite un conjunto mayor de funciones de prueba al requerir un menor grado de derivabilidad.

Principios fundamentales

• PTV: Es una condición necesaria y suficiente para el equilibrio. Se obtiene aplicando el teorema de Gauss a las integrales de los residuos ponderados y una integración por partes. Es aplicable tanto en mecánica de sólidos lineales como no lineales.
• Principio de Energía Potencial Estacionaria: Establece que un sólido alcanza una posición de equilibrio cuando su energía potencial es estacionaria. Es aplicable exclusivamente en problemas de mecánica de sólidos lineales, siendo una particularidad del PTV.

Modelado en Ingeniería

Amplificación de ondas en puertos

La metodología para estudiar la amplificación de ondas largas en puertos consiste en suponer ondas incidentes de amplitud unidad incidiendo en el contorno con períodos variables, obteniendo la curva período-amplificación.

• Datos necesarios: Batimetría y tipo de costa (reflectante o no).
• Condiciones: Onda incidente en el contorno de entrada y reflexión en el resto del dominio.
• Discretización: Se empleará un mínimo de 8-12 elementos por longitud de onda (producto del período por la velocidad de propagación, √g·h).

Análisis de suelos cohesivos

Para el estudio de suelos cohesivos, se recomienda el uso de una malla con elementos Q8P4, dividiendo el dominio en aproximadamente 10 elementos en vertical y uno en horizontal, bajo un análisis de consolidación acoplado.

Condiciones de contorno

• Inferior: Desplazamientos prescritos; sin flujo.
• Laterales: Desplazamientos horizontales nulos; sin flujo.
• Superior: Sobrecarga en y (variable en el tiempo); presión intersticial nula.

Nota técnica: No se puede aplicar el modelo de Mohr-Coulomb, ya que no permite generar deformaciones plásticas en cargas similares a las edométricas. Se debe emplear un modelo con superficies de fluencia cerradas (ej. elipses en el plano p’-q). Los parámetros λ, κ se obtienen de ensayos edométricos, mientras que el módulo elástico, el coeficiente de Poisson y el ángulo de fricción se derivan de ensayos triaxiales.