Fundamentos de Métodos Numéricos: Algoritmos, Raíces y Derivación

Conceptos Fundamentales

Algoritmo: Un algoritmo es un conjunto de instrucciones o reglas definidas, no ambiguas, ordenadas y finitas que permite solucionar un problema.

Raíces de ecuaciones: La raíz de una ecuación es aquel valor de la variable independiente que hace que el resultado de la ecuación sea cero o, por lo menos, se acerque a cero con un cierto grado de aproximación deseado.

Métodos para Ecuaciones Diferenciales

Método de Euler

Para aplicarlo, debemos tomar la pendiente al inicio del intervalo como una aproximación de la pendiente promedio sobre todo el intervalo. Consiste en encontrar iterativamente la solución de una ecuación diferencial de primer orden y valores iniciales conocidos para un rango de valores, partiendo de un valor inicial x₀.

Al aplicar el método de Euler pueden aparecer dos tipos de errores:

• Errores de truncamiento: Originados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.
• Errores de redondeo: Causados por el número limitado de cifras significativas que una computadora puede retener.

Método de Euler Modificado

El método de Euler modificado consiste en tomar las fórmulas del método de Euler para calcular la pendiente en un punto inicial y en un punto final, y luego promediarlas. De esta manera, el resultado será mucho más acertado a lo largo de todo el intervalo.

Clasificación de Métodos

Métodos Cerrados

Se les llama métodos cerrados a todos aquellos que requieren de un intervalo de valores de la variable independiente [a, b].

Método de la Regla (Bisección): Comienza con un intervalo [a, b] donde se sabe que la función cambia de signo. Luego, divide el intervalo por la mitad y evalúa la función en el punto medio c. Dependiendo del signo del valor obtenido, se reemplaza el extremo correspondiente del intervalo [a, b] con el punto medio c. Este proceso se repite iterativamente hasta que se alcanza una aproximación deseada de la solución.

Métodos Abiertos

Los métodos abiertos se basan en fórmulas que requieren únicamente de un solo valor de inicio, o un par de ellos, pero que no necesariamente deben encerrar a la raíz. Existen casos en los que su funcionamiento no es el mejor, especialmente para obtener raíces múltiples.

Método de Newton-Raphson: Es un algoritmo iterativo para encontrar aproximaciones de las raíces (ceros) de una función no lineal. Por ejemplo, si queremos encontrar una raíz de una función f(x) = 0, iniciamos con una suposición inicial x₀ cercana a la raíz que se desea encontrar. La fórmula iterativa sería: x₁ = x₀ - f(x₀) / f'(x₀), donde f'(x₀) es la derivada de la función evaluada en x₀. Repetimos la fórmula usando el último valor de x en cada iteración hasta que la diferencia entre dos iteraciones cumpla un criterio de convergencia o se alcance un número predefinido de iteraciones.

Métodos Globales y Locales

• Métodos globales: Utilizan toda la muestra para estimar el valor en cada nuevo punto.
• Métodos locales: Solo utilizan los puntos más cercanos.

Interpolación y Derivación Numérica

La extrapolación es proyectar datos más allá del rango disponible, mientras que la interpolación matemática es un proceso mediante el cual se calcula un valor en un punto dado dentro de un conjunto de datos conocidos.

Polinomio de interpolación: Es una técnica de aproximación de un conjunto de datos o de una función por un polinomio. Dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo, se busca un polinomio que pase por todos ellos. Es aplicable para problemas de diferenciación en general y cálculos de derivadas en particular.

Derivación Numérica

Se trata de evaluar la derivada de una función a partir de valores numéricos de dicha función. Geométricamente, podemos considerar tres variantes:

• Fórmula avanzada: Se toma el punto x y un punto más adelantado: [f(x + h) - f(x)] / h.
• Fórmula atrasada: Se toma el punto x y un punto más atrasado: [f(x) - f(x - h)] / h.
• Fórmula centrada: Se toma el punto x y dos puntos, uno a la izquierda y otro a la derecha: [f(x + h) - f(x - h)] / 2h.