Fundamentos de los Números Complejos y sus Operaciones

Introducción a los Números Complejos

Existen muchas ecuaciones cuadráticas que no tienen solución en el campo de los números reales. Por ejemplo, al tratar de resolver la ecuación X² + 1 = 0, nos encontramos, despejando X, con la siguiente expresión: X² = -1 y al sacar la raíz cuadrada a ambos miembros: X = ±√-1.

Pero sabemos que los números negativos no tienen raíz cuadrada real, pues no existe ningún número real que elevado al cuadrado dé un resultado negativo. Introduciremos en este punto un nuevo conjunto numérico llamado el conjunto de los Números Complejos, en el que se encontrará solución para este tipo de ecuaciones.

Definición de Número Complejo

A toda expresión de la forma a + bi, donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria, la llamaremos número complejo. Designaremos los números complejos con la letra Z; así: Z = a + bi (donde a ∈ R y b ∈ R).

La Unidad Imaginaria

La expresión √-1 la definiremos como la unidad imaginaria y la designaremos con la letra i. Así, pues: i = √-1; o, dicho de otra forma, i es aquella cantidad que elevada al cuadrado da -1: i² = -1.

Todas las raíces pares de números negativos pueden expresarse en términos de la unidad imaginaria.

Componentes de un Número Complejo

• Llamaremos parte real a la primera componente a y lo indicaremos de esta forma: Re(z) = a.
• Llamaremos parte imaginaria a la segunda componente b. Lo indicaremos así: Im(z) = b.

Cuando a = 0, se dice que Z es un imaginario puro. Cuando b = 0, Z se convierte en un número real. Los números reales son complejos cuyas partes imaginarias son iguales a cero.

De esta forma llegamos a establecer un nuevo conjunto numérico, el conjunto de los números complejos, que designaremos con la letra C y que viene a completar el cuadro de los conjuntos numéricos estudiados hasta el momento.

Igualdad y Formas de Representación

Igualdad de Números Complejos

Se dice que dos números complejos Z₁ y Z₂ son iguales si son iguales entre sí sus partes reales y también sus partes imaginarias: Z₁ = Z₂ ↔ Re(z₁) = Re(z₂) y Im(z₁) = Im(z₂).

Forma Binómica y Par Ordenado

Los números complejos de la forma Z = a + bi se dicen que están expresados en forma binómica. Los números complejos pueden ser expresados también en forma de par ordenado. El número complejo Z = a + bi expresado en forma de par ordenado toma la siguiente forma: Z = (a, b), en donde a y b siguen siendo, igual que antes, la parte real y la parte imaginaria, respectivamente.

Representación Geométrica

Se conviene en representar los números complejos mediante puntos en el plano. La abscisa del punto es igual a la parte real a del número que representa. La ordenada es igual a la parte imaginaria b. De esta forma, la representación del complejo Z = a + bi es el punto M del plano adjunto. Este punto M recibe el nombre de afijo del complejo Z.

Operaciones y Propiedades

Potencias de la Unidad Imaginaria

La unidad imaginaria es la expresión que elevada al cuadrado es igual a -1.

Multiplicación de Complejos

Se multiplican como dos binomios corrientes. Al final se reducen las potencias de i y los términos semejantes.

Conjugado de un Complejo

Llamaremos conjugado a dos complejos Z y Z̄ que tengan sus afijos simétricos con respecto al eje real. Si se cumple, por lo tanto, que Z = a + bi y Z̄ = a - bi, diremos que Z̄ es el conjugado del complejo Z.

Propiedades de los complejos conjugados: Al multiplicar un número complejo por su conjugado, el resultado es un número real positivo.

División de Números Complejos

Para dividir un número complejo entre otro, se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

Módulo de un Complejo

Se llama módulo de un complejo a la longitud del vector que lo representa; lo designamos por |Z| o simplemente r. Su valor lo obtenemos por la fórmula: |Z| = r = √(a² + b²).