Fundamentos y Propiedades del Producto Cruz en R3

Producto Cruz de Vectores

Definición 4.11

Dados dos vectores v = (a, b, c) y u = (d, e, f), se define el producto cruz (también conocido como producto externo o producto vectorial) como el vector dado por:

v × u = (a, b, c) × (d, e, f) = (bf − ce, cd − af, ae − db)

El producto cruz solo se define para vectores en R³.

Observación 4.12

Una forma eficiente de calcular el producto cruz entre estos vectores es mediante el siguiente determinante:

| i  j  k |
| a  b  c |
| d  e  f |

= (bf − ce)i + (cd − af)j + (ae − db)k = (bf − ce, cd − af, ae − db)

Definición Equivalente

A veces, el producto cruz de v = (a, b, c) y u = (d, e, f) se define también como: v × u = ||v|| ||u|| sen(θ)n, donde θ es el ángulo generado entre ambos vectores y n es un vector unitario perpendicular a v y u.

Teorema 4.4: Propiedades del Producto Cruz

Sean v, u y w vectores del espacio y λ una constante real, entonces:

• v × u = −(u × v) (es anticonmutativo).
• v × v = 0.
• λ(v × u) = (λv) × u = v × (λu).
• v × (u + w) = v × u + v × w.
• ||v × u|| es igual al área del paralelogramo formado por v y u; más aún: ||v × u|| = ||v|| ||u|| sen(θ).

Ejemplo 4.15

Determine un vector v = (a, b, c) tal que v × (4, −5, 1) = (1, 2, 3) × (4, −5, 1) con c = 0.

Solución

Calculamos primero (1, 2, 3) × (4, −5, 1) mediante el determinante:

17i + 11j − 13k = (17, 11, −13).

Entonces, buscamos (a, b, c) tal que (a, b, c) × (4, −5, 1) = (17, 11, −13). Al desarrollar el determinante, obtenemos:

(b + 5c)i + (4c − a)j + (−5a − 4b)k = (17, 11, −13).

Igualando por coordenadas, obtenemos el sistema:

• b + 5c = 17
• 4c − a = 11
• −5a − 4b = −13

Despejando b de la primera igualdad y reemplazando en la tercera, obtenemos que a = −11 + 4c. Al sustituir en la segunda ecuación, resulta 11 = 11, lo que indica que el sistema tiene infinitas soluciones.

Dejando a y b en función de c, los vectores son de la forma: v = (−11 + 4c, 17 − 5c, c).

Eligiendo c = 0, se obtiene el vector v = (−11, 17, 0), que cumple con la condición solicitada.