Fundamentos de la Reducción Ortogonal y la Forma Canónica de Jordan

Teorema de la reducción ortogonal de una forma cuadrática

Sea Q una forma cuadrática en Rⁿ que, respecto de la base canónica B de Rⁿ, viene dada por Q(x) = X^tAX para todo x perteneciente a Rⁿ, con X = [x]_B. Si la matriz A de la forma cuadrática Q tiene rango r, entonces existe una transformación ortogonal X = PY, siendo P = Id_AB con A base ortonormal de Rⁿ formada por vectores propios de A, B base canónica de Rⁿ e Y = [y]_A = (y₁, y₂, ..., y_n)^T, que transforma Q en una suma de cuadrados donde α₁, α₂, ..., α_r son los valores propios no nulos de A. A los vectores de la base A se les denomina direcciones principales.

Definiciones Fundamentales

Vector propio

Sea A perteneciente a M_n×n(C), b un vector no nulo de Cⁿ y α perteneciente a C un escalar. Diremos que b es un vector propio generalizado de orden k de A asociado a α si b pertenece al núcleo N((A - αI_n×n)^k), pero b no pertenece al núcleo N((A - αI_n×n)^k-1).

Polinomio anulador

Sea A perteneciente a M_n×n(K). Diremos que un polinomio f(λ) perteneciente a K[λ] no nulo es un polinomio anulador de A si f(A) = O_n×n.

Cayley-Hamilton

El polinomio característico de A es un polinomio anulador de A, es decir, D_A(A) = O_n×n.

Polinomio mínimo

Llamaremos polinomio mínimo de A al único polinomio mónico de grado mínimo que anula la matriz A. Lo denotaremos por M_A(λ).

Teoremas de Similaridad y Estructura de Jordan

Teorema de caracterización de matrices similares

Si A y B son matrices complejas n×n, entonces A y B son similares si y solo si tienen la misma forma canónica de Jordan.

Teorema de la similaridad de matrices

Si A es una matriz compleja n×n, entonces A es similar a su forma canónica de Jordan.

Teorema de Jordan

Sea A perteneciente a M_n(C). Supongamos que se conocen los polinomios característico y mínimo de A, y sea B la base canónica de Cⁿ, entonces existe una base A de Cⁿ tal que la matriz P = Id_AB no singular verifica que P^-1AP = J es una matriz en bloques diagonal, de la forma...

Además, para cada valor de α se cumple que:

• Existe al menos un bloque de Jordan asociado a α de tamaño m y el resto son de tamaño menor o igual que él.
• El número de bloques de Jordan asociados al valor propio α coincide con la Multiplicidad Geométrica (MG).
• La suma de los tamaños de los bloques asociados a α coincide con la Multiplicidad Algebraica (MA).
• El número de bloques de cada posible tamaño viene determinado únicamente por A.

Donde A = forma canónica de Jordan.