Fundamentos de Variables Aleatorias: Tipos, Propiedades y Cálculos Estadísticos

1. ¿Qué es una Variable Aleatoria (v.a.)?

Es una función definida sobre el espacio muestral de un experimento aleatorio que asocia a cada uno de sus elementos un número real.

2. ¿Cómo se denotan habitualmente las variables aleatorias y sus valores?

• La variable aleatoria se denota con letras mayúsculas (por ejemplo: $X, Y, Z$).
• Los distintos valores específicos que toma la variable se denotan con letras minúsculas (por ejemplo: $x, y, z$).

3. ¿Cómo se clasifican las variables aleatorias?

Se clasifican únicamente en dos tipos:

• Variable aleatoria discreta.
• Variable aleatoria continua.

4. ¿Qué es una Variable Aleatoria Discreta y con qué proceso se relaciona?

Es aquella que puede tomar solo un número finito o infinito contable de valores distintos. Su conjunto de resultados posibles se puede contar.

5. ¿Qué es una Variable Aleatoria Continua y con qué proceso se relaciona?

Es aquella que toma un número infinito de valores dentro de un intervalo, de modo que entre cualesquiera dos valores siempre existe otro posible valor. Generalmente está asociada a procesos de medición.

6. ¿Qué es la Función de Probabilidad de una variable aleatoria discreta?

Es la función que asigna a cada valor posible $x$ de la variable discreta $X$ su correspondiente probabilidad de ocurrencia.

• Fórmula: $f(x) = P(X = x)$

7. ¿Cuáles son las tres formas de presentar una función de probabilidad?

• Mediante una tabla.
• Mediante una fórmula.
• De manera gráfica mediante un diagrama de barras.

8. ¿Cuáles son las dos propiedades fundamentales que debe cumplir toda función de probabilidad discreta?

• Rango de probabilidad: La probabilidad asignada a cada valor de $X$ debe estar entre 0 y 1 ($0 \leq f(x) \leq 1$).
• Suma total: La suma de las probabilidades asignadas a todos los valores posibles de la variable aleatoria debe ser estrictamente igual a 1 ($\sum f(x) = 1$).

9. ¿Qué es la Media o Valor Esperado ($\mu$ o $E(X)$) de una variable discreta?

Es la suma del producto de cada valor que toma la variable aleatoria por su respectiva probabilidad.

Fórmula:

$\mu = E(X) = \sum x_i \cdot f(x_i)$

10. ¿Qué es la Varianza ($\sigma^2$ o $V(X)$) de una variable discreta y qué fórmulas se usan para calcularla?

Es una medida de dispersión para la variable aleatoria. Se puede definir y calcular mediante:

• Fórmula directa de desviaciones:
• $\sigma^2 = V(X) = \sum (x_i - \mu)^2 \cdot f(x_i)$

Fórmula simplificada (de trabajo):

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

11. ¿Qué es la Desviación Estándar ($\sigma$)?

Es la raíz cuadrada positiva de la varianza de la variable aleatoria.

$\sigma = \sqrt{V(X)}$